Построим параллелепипед с одной вершиной в начале координат $O$ и тремя образующими векторами $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$. Тогда любая вершина имеет координату, равную сумме некоторых этих векторов (например, противоположная вершина — $\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}$). Обозначим плоскости граней через ${\Pi }_{ab}$ (грани, порождённой $\mathbf{a},\mathbf{b}$), ${\Pi }_{bc}$, ${\Pi }_{ac}$ и т.д.
1) Противоположные грани параллельны.
Векторное доказательство: нормаль к грани ${\Pi }_{ab}$ равна ${\mathbf{n}}_{ab}=\mathbf{a}\times \mathbf{b}$. Противоположная грань — та же пара образующих, сдвинутая на $\mathbf{c}$, её нормаль та же: ${\mathbf{n}}_{ab}$. Так как нормали коллинеарны, плоскости параллельны. Формально: ${\Pi }_{ab}\parallel {\Pi }_{ab}^{\prime }$ потому что ${\mathbf{n}}_{ab}^{\prime }=\mathbf{a}\times \mathbf{b}={\mathbf{n}}_{ab}$.
Координатное доказательство: положим $O=(0,0,0)$, $\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3)$, $\mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3)$. Уравнение плоскости через $O$ и порождённой $\mathbf{a},\mathbf{b}$: $(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\cdot \mathbf{x}=0$. Плоскость, сдвинутая на $\mathbf{c}$, имеет уравнение $(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\cdot (\mathbf{x}-\mathbf{c})=0$ — та же нормаль, значит параллельна.
Синтетическое доказательство: грань — параллелограмм, у параллелограмма противоположные стороны параллельны; две грани с соответствующими параллельными сторонами лежат в параллельных плоскостях.
2) Двухмерные диагонали противоположных граней параллельны.
Векторно: диагональ грани ${\Pi }_{ab}$ — вектор $\mathbf{a}+\mathbf{b}$; противоположная диагональ тоже даёт $\mathbf{a}+\mathbf{b}$ (сдвиг); значит они параллельны.
Синтетически: в параллелограмме диагонали двух противоположных параллелограммов равны и параллельны по определению сдвига.
3) Критерий перпендикулярности плоскостей (общий вид).
Общее векторное правило: две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормали ортогональны: ${\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2=0$. Для граней параллелепипеда, например для ${\Pi }_{ab}$ и ${\Pi }_{bc}$, имеем
$$(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\cdot (\mathbf{b}\times \mathbf{c})=0.$$ Используя тождество $(\mathbf{x}\times \mathbf{y})\cdot (\mathbf{z}\times \mathbf{w})=(\mathbf{x}\cdot \mathbf{z})(\mathbf{y}\cdot \mathbf{w})-(\mathbf{x}\cdot \mathbf{w})(\mathbf{y}\cdot \mathbf{z})$, получаем явную скалярную условие
$$(\mathbf{b}\cdot \mathbf{b})(\mathbf{a}\cdot \mathbf{c})-(\mathbf{b}\cdot \mathbf{c})(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})=0.$$ Это даёт точный алгебраический критерий, когда плоскости ${\Pi }_{ab}$ и ${\Pi }_{bc}$ взаимно перпендикулярны.
Частный (интуитивный) случай: прямоугольный параллелепипед, когда
$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}=\mathbf{c}\cdot \mathbf{a}=0,$$ тогда нормали $\mathbf{a}\times \mathbf{b},\mathbf{b}\times \mathbf{c},\mathbf{c}\times \mathbf{a}$ попарно ортогональны и грани попарно перпендикулярны.
Координатно: подставляя координаты в выражения нормалей и равенство нулю скалярного произведения, получаем конкретные алгебраические уравнения на координаты ребёр параллелепипеда.
Синтетическое доказательство (пример для прямоугольного): если рёбра, выходящие из вершины, попарно взаимно перпендикулярны, то соответствующие грани, содержащие эти рёбра, перпендикулярны по определению угла между плоскостями (можно взять линии внутри граней, перпендикулярные общей грани).
4) Почему векторный/координатный подход удобен и как он соотносится с синтетикой. Кратко:
- Преимущества векторного/координатного метода: даёт точные алгебраические критерии (например, формулу выше), удобен для вычислений и для работы в общем положении (не требует особых геометрических конфигураций), легко реализуется на компьютере. Векторы и произведения дают явные нормали и уравнения плоскостей.
- Преимущества синтетики: часто даёт более короткие и наглядные рассуждения, использует общие геометрические свойства (параллелограммы, свойства углов между плоскостями через углы между прямыми) и даёт интуицию; иногда более элегантна для частных конфигураций (например, прямоугольный случай).
- Соотношение: векторный метод формализует и обобщает синтетические рассуждения; многие синтетические аргументы являются частными следствиями векторных тождеств и критериев (и наоборот — вектора часто «заключают» геометрическую идею в формулах).
Вывод: на примере параллелепипеда векторы и координаты позволяют давать однозначные вычислимые критерии параллельности и перпендикулярности плоскостей (через нормали $\mathbf{a}\times \mathbf{b}$ и скалярные произведения), а синтетические доказательства остаются более краткими и наглядными в частных ситуациях; оба подхода дополняют друг друга.