Формулировка. Пусть дано замкнутое (необязательно выпуклое) многоугольное ломаное с вершинами $A_1,\dots ,A_n$ и комплексными координатами $z_1,\dots ,z_n$ (считая $z_{n+1}=z_1,z_{n+2}=z_2$). Обозначим середины сторон $M_k=\frac{A_k{A}_{k+1}}{2}$ в комплексном виде $m_k=\frac{z_k+z_{k+1}}{2}$. Теорема Паппа–Гаусса утверждает, что векторная сумма звеньев ломаной, соединяющей попарно последовательные середины сторон, равна нулю, то есть эта «серединная» ломаная замкнута:
$$\sum _{k=1}^n(m_{k+1}-m_k)=0.$$
Доказательство с помощью комплексных чисел. По определению
$$m_k=\frac{z_k+z_{k+1}}{2},m_{k+1}-m_k=\frac{z_{k+1}+z_{k+2}-z_k-z_{k+1}}{2}=\frac{z_{k+2}-z_k}{2}.$$ Суммируя по $k=1\dots n$,
$$\sum _{k=1}^n(m_{k+1}-m_k)=\frac{1}{2}\sum _{k=1}^n(z_{k+2}-z_k)=\frac{1}{2}(\sum _{k=1}^n{z}_{k+2}-\sum _{k=1}^n{z}_k)=0,$$ так как сдвиг индексов не меняет суммы. Отсюда ломаная $M_1{M}_2\dots M_n$ замкнута, что и требовалось.
Геометрическая интерпретация. Формула $m_{k+1}-m_k=\frac{z_{k+2}-z_k}{2}$ показывает, что звено между соседними серединами параллельно и равно половине диагонали $A_k{A}_{k+2}$. Таким образом ломаная из середин — это «половинная» ломаная диагоналей, и суммирование этих половин диагоналей даёт нулевой вектор (все слагаемые в сумме парно «сощетаются» при циклическом сдвиге). Иными словами, заменяя каждую пару смежных сторон соответствующей половиной диагонали, мы получаем замыкание.
Когда комплексный метод удобнее. Метод комплексных чисел удобен, когда нужно получить компактную алгебраическую формулу для многих однотипных звеньев (как здесь: общий индекс $k$ и циклические сдвиги), при операциях с параллельностью, равенством половин, при учёте вращений и масштабирований (умножение на комплексное число задаёт вращение+гомотетию). Он устраняет громоздкие геометрические построения и даёт короткое вычисление сумм. Синтетические построения удобнее, если требуется интуитивное геометрическое объяснение с построением центров, касательных и т.п., или когда задача ориентирована на чисто конструктивные свойства.