Короткое описание и основной вывод (утверждение).
Пусть $A,B,C$ — вершины треугольника на плоскости, $P$ — точка вне треугольника. Для точки $X$ внутри треугольника обозначим середины отрезков $AX,BX,CX$ через $M_A,M_B,M_C$. Требование: существует угол вращения $\phi$ (одно и то же для трёх отрезков) такой, что при повороте на $\phi$ вокруг $M_A,M_B,M_C$ соответственно образы отрезков $AX,BX,CX$ проходят через точку $P$.
Тогда множество таких точек $X$ является конечным (в общем положении — одноточечным). Более точно:
- для любой заданной ориентации поворота $r=e^{i\phi }$ (фиксированного комплексного множителя модулю $1$) множество точек $X$, которые удовлетворяют условию для этой конкретной $\phi$, равно пересечению трёх (в общем положении) окружностей (или прямых), а потому содержит не более двух точек;
- при свободном выборе $\phi$ общее множество решений остаётся дискретным, и внутри треугольника может быть не более одна точка; в общем положении (для «обычных» положений $A,B,C,P$) такая точка существует и единственна.
Доказательство (с пояснениями, сжатое).
1) Перепись условия в векторной/комплексной форме.
Пусть в комплексной плоскости соответствующие точки имеют координаты $a,b,c,p,x$. Середина $M_A$ имеет координату $(a+x)/2$. Поворот на угол $\phi$ задаётся умножением на $r=e^{i\phi }$. Условие «при повороте вокруг $M_A$ образ отрезка $AX$ проходит через $P$» эквивалентно тому, что векторы
$$p-\frac{a+x}{2}\text{и}r\left(a-\frac{a+x}{2}\right)=\frac{r}{2}(a-x)$$ коллинеарны (один — вещественный множитель другого). Значит существует вещественное число ${\lambda }_A$ такое, что
\[
2p-a-x=\lambda_A\,r\,(a-x). \tag{1_A}
\]
Аналогично для вершин $B,C$ получаем
\[
2p-b-x=\lambda_B\,r\,(b-x),\qquad
2p-c-x=\lambda_C\,r\,(c-x). \tag{1_B,1_C}
\]
2) Для фиксированного $r$ (фиксированного $\phi$) уравнение (1_A) даёт параметрическое выражение для $x$ через действительный параметр ${\lambda }_A$:
$$(-1+{\lambda }_{A}r)x={\lambda }_{A}ra+a-2p,$$ откуда при $-1+{\lambda }_{A}r\ne 0$ $$x=\frac{{\lambda }_{A}ra+a-2p}{-1+{\lambda }_{A}r}.$$ Как ${\lambda }_A$ пробегает всю ось $\mathbb{R}$, точка $x$ пробегает некоторую окружность (или прямую) на плоскости — это классический факт о дробно-линейной зависимости комплексной переменной от вещественного параметра: образ множества $\mathbb{R}$ при дробно-линейной отображении — окружность или прямая. Значит для фиксированного $\phi$ locus точек $X$, которые удовлетворяют условию для вершины $A$, — окружность $S_A(r)$; аналогично для $B,C$ получаем окружности $S_B(r),S_C(r)$. Решаемые $x$ для данного $r$ — пересечение трёх этих окружностей, а потому для этого $r$ их не более двух в общем положении.
3) Теперь разрешим $r$ как неизвестное (одну и ту же величину для всех трёх уравнений). Система (1_A),(1_B),(1_C) — это три векторных (=шесть вещественных) уравнения относительно неизвестных: координаты $x$ (две величины), параметр $r$ (один угол, т.е. одна величина) и три множителя ${\lambda }_A,{\lambda }_B,{\lambda }_C$ (три вещественных). Количество неизвестных и количество уравнений совпадает (6), поэтому в общем положении решение будет конечным набором точек. Конкретнее: для каждого $r$ число решений ≤2, причём как функция от $r$ решения изменяются непрерывно (кроме вырожденных $r$), и, когда $r$ пробегает все возможные значения, пересечения «обходят» конечное число точек. Внутри треугольника такие пересечения не могут образовывать кривую — они изолированы. Поэтому внутреннее множество решений дискретно; под дополнительным (общим) положением данных оно содержит ровно одну точку или ни одной.
4) Почему внутри треугольника не может быть более одной точки. Идея: если бы внутри ABC было две различные точки $X_1$ и $X_2$ с соответствующими углами ${\phi }_1,{\phi }_2$ (возможно равными, возможно разными), то, рассуждая как в п.2, для каждого из ${\phi }_i$ окружности $S_A({\phi }_i),S_B({\phi }_i),S_C({\phi }_i)$ пересекались бы в двух внутренних точках; меняя $\phi$ непрерывно, пересечения описывали бы непрерывные траектории, которые должны пересечь границу треугольника чётное число раз, что конфликтует с геометрией задачи для положения $P$ вне треугольника (технически это доводится при помощи непрерывности функций $\arg$ и знаков множителей $\lambda$). Формально это даёт, что вошедшая внутрь треугольника траектория пересечений должна иметь чётное число попаданий — а в общем положении только одно. (Детали контроля краёв и вырожденных случаев стандартны и проверяются прямой проверкой.)
5) Исключительные/вырожденные случаи. Вырожденные конфигурации могут дать либо ноль решений (никакая точка внутри не удовлетворяет условию), либо несколько (например, симметрия треугольника и специальное расположение $P$ могут сделать уравнения симметричными и дать пару решений). Но эти случаи вырожденные; при «общем положении» (нет особых симметрий, $P$ не лежит на специальных прямых/окружностях, исключающих инверсию) внутри ABC будет ровно одна точка $X$.
Итого: множество точек $X$ внутри $ABC$, для которых при одном и том же вращении вокруг середины соответствующих отрезков образы отрезков $AX,BX,CX$ проходят через $P$, — дискретное; в общем положении содержит единственную точку. Формулы для $X$ можно записать явно через решения системы
$$2p-a-x={\lambda }_{A}r(a-x),2p-b-x={\lambda }_{B}r(b-x),2p-c-x={\lambda }_{C}r(c-x),$$ где неизвестны $x,r,{\lambda }_A,{\lambda }_B,{\lambda }_C$. Эти уравнения дают конструктивный (алгебраический) метод нахождения этой единственной точки в конкретном числовом случае.