Кратко: для каждого выбора типов касания к двум окружностям (внешнее/внутреннее, обозначим знаками $s_1,s_2\in \{\pm 1$) и для каждой стороны прямой (центр над или под прямой) искомые центры одновременно лежат на двух параболах — каждая парабола является геометрическим местом центров окружностей, касающихся данной окружности и данной прямой. Координатно это даёт систему «парабола + прямая», поэтому для фиксированных знаков число центров конечен (до 2 для данной комбинации знаков), а суммарно по всем комбинациям — не более 8. Ниже — синтетика и координаты с выводом уравнений.
Синтетическое соображение
- Для данной окружности $S(C,r)$ и прямой $\ell$ множество точек $X$ — центров окружностей радиуса $\rho$, касающихся $S$ и $\ell$, удовлетворяет
$$d(X,C)=d(X,\ell )+sr,$$ где $s=+1$ при внешнем касании, $s=-1$ при внутреннем. Это равенство после возведения в квадрат даёт уравнение второго порядка без квадрата по нормали к $\ell$ — то есть геометрически это парабола (ось параболы параллельна нормали к $\ell$).
- Для двух данных окружностей $S_1(C_1,r_1)$ и $S_2(C_2,r_2)$ центры искомых окружностей должны лежать одновременно на двух таких параболах (для выбранных знаков $s_1,s_2$). Следовательно, для фиксированных $s_1,s_2$ решения — точки пересечения двух парабол (не более 2). Меняя знаки и сторону прямой получаем все возможные центры; максимум теоретически $2\times 4=8$ (Apollonius-оценка).
Координатный вывод (удобная настройка)
Пусть $\ell$ — ось $x$- (уравнение $y=0$). Пусть центры окружностей: $C_1=(x_1,y_1),C_2=(x_2,y_2)$. Рассмотрим центр искомой окружности $X=(x,y)$; радиус окружности, касающейся $\ell$, равен $\rho =|y|$. Для определённости берём центр над прямой, т.е. $y>0,\rho =y$. Тогда условия касания дают
$$\sqrt{(x-x_1{)}^2+(y-y_1{)}^2}=y+s_1{r}_1,\sqrt{(x-x_2{)}^2+(y-y_2{)}^2}=y+s_2{r}_2,$$ с $s_i=\pm 1$. Возводя в квадрат каждое, получаем две уравнения (квадратичные), из которых при вычитании радикалы устраняются и остаётся линейное уравнение для $x,y$:
$$-2(x_1-x_2)x-2(y_1-y_2+(s_1{r}_1-s_2{r}_2))y+(x_1^2-x_2^2+y_1^2-y_2^2-r_1^2+r_2^2)=0.$$ Ещё удобнее записать в краткой форме: положим
$$A=x_1-x_2,B=y_1-y_2+s_1{r}_1-s_2{r}_2,C=\frac{1}{2}(x_1^2-x_2^2+y_1^2-y_2^2-r_1^2+r_2^2).$$ Тогда линейное уравнение имеет вид
$$Ax+By=C.$$ Одно из исходных квадратных уравнений (скажем, для $C_1$) можно записать как уравнение параболы:
$$(x-x_1{)}^2+(y-y_1{)}^2=(y+s_1{r}_1{)}^2,$$ или после приведения
$$(x-x_1{)}^2-2(y_1+s_1{r}_1)y+(y_1^2-r_1^2)=0.$$ Искомые центры для данной комбинации знаков — пересечения этой параболы и прямой $Ax+By=C$. Подстановка $y=(C-Ax)/B$ даёт квадратное уравнение по $x$ — максимум два решения. Аналогично для центра под прямой нужно взять $\rho =-y$ (т.е. менять знак правой части), что даёт ещё случаи. Перебор всех четырёх комбинаций $(s_1,s_2)$ и двух сторон прямой даёт все возможные решения (до 8).
Особые случаи
- Если для некоторой комбинации $A=0,B=0$ линейное уравнение тождественно (или несовместно), то ситуация вырождается: либо параболы параллельны/совпадают и возможны бесконечно многие центры (крайний вырожденный случай), либо решений нет.
- Если $s_1{r}_1-s_2{r}_2=0$ и $C$ дополнительно принимает определённое значение, то разность расстояний от $C_1$ и $C_2$ постоянна ноль и соответствующее геометрическое место — перпендикулярный биссектор (или вырожденный конус).
Выводы
- Геометрически: для каждой фиксированной пары типов касания центры лежат в пересечении двух парабол (множество конечное, обычно 0,1 или 2 точек).
- Координатно: параметры даются явными уравнениями: парабола
$$(x-x_1{)}^2+(y-y_1{)}^2=(y+s_1{r}_1{)}^2$$ и прямая
$$(x_1-x_2)x+(y_1-y_2+s_1{r}_1-s_2{r}_2)y=\frac{1}{2}(x_1^2-x_2^2+y_1^2-y_2^2-r_1^2+r_2^2).$$ Подстановка даёт квадратное уравнение — явный метод вычисления центров.