Коротко и по существу.
Интуитивные идеи
- Теорема синусов: соотношение сторон и противоположных углов связано через радиус описанной окружности: все отношения $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$. Интуиция — стороны пропорциональны синусам противолежащих углов (теорема легко выводится либо через равные угловые дуги на описанной окружности, либо через равенство площадей треугольников).
- Теорема косинусов: обобщение теоремы Пифагора на непрямой угол: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$. Интуитивно — это Пифагор плюс корректирующий член $-2bc\cos A$, который показывает «насколько» треугольник отклоняется от прямого.
Где какая удобнее
- Теорема синусов удобна, когда известны один угол и хотя бы одна сторона (формы ASA, AAS, SSA — для SSA нужно осторожно: возможна «двойственная» ситуация).
- Теорема косинусов удобна, когда известны две стороны и включённый угол (SAS) или все три стороны (SSS) — позволяет напрямую найти угол или сторону без необходимости искать окружность.
- Для вычисления площади по двум сторонам и углу удобна формула с синусом: $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ (т.е. синусная идея естественна для площадей).
- Для геометрических величин, зависящих только от длин (медианы, биссектрисы через стороны), часто проще применять косинусы и алгебру.
Короткие доказательства (контекст)
- Синусов: через равные площади: $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ac\sin B$ ⇒ $\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}$.
- Косинусов: спроектировать одну вершину на сторону, применить Пифагор к двум прямоугольным треугольникам; получают $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$.
Примеры задач, где переход или выбор теоремы упрощает решение
1) Найти угол по трём сторонам (SSS).
Задача: $a=7,b=8,c=9$.
Решение: косинусная формула прямо даёт $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{8^2+9^2-7^2}{2\cdot 8\cdot 9}$. После вычисления берём $\arccos$. Синусная формула тут неудобна (надо сначала найти хотя бы один угол через косинус).
2) Найти сторону по двум сторонам и включённому углу (SAS).
Задача: $b=5,c=6,A=60^{\circ }$.
Решение: косинусная формула даёт $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$. Это прямой и короткий путь. Пытаться через теорему синусов нельзя, потому что нет информации об относительных углах.
3) Найти боковую сторону и угол при известной стороне и двух углах (AAS/ASA).
Задача: $a=10,A=40^{\circ },B=60^{\circ }$.
Решение: синусная формула: $\frac{a}{\sin A}=2R\Rightarrow b=\frac{\sin B}{\sin A}a$. Косинусная формула здесь избыточна и сложнее.
4) Площадь по трём сторонам vs по двум сторонам и углу.
Задача: известны $a,b$ и угол $C$ между ними.
Решение: сразу $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ (синус — естественно). Если известны все три стороны, можно сначала найти угол через косинус, а затем подставить в $\frac{1}{2}ab\sin C$, либо воспользоваться формулой Герона (альтернатива).
5) Медиана или длина отрезка через стороны (удобно косинусами).
Задача: найти медиану к стороне $a$.
Решение: применяя косинусную формулу к треугольникам, получаем $m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}$. Синусная теорема здесь не даёт простого выражения.
6) Случай «двойственности» (SSA).
Задача: $a=7,b=10,A=40^{\circ }$. Найти $B$.
Решение: сначала применяют теорему синусов $\sin B=\frac{b\sin A}{a}$. Если правая часть меньше 1, может быть два решения $B$ и $180^{\circ }-B$. Чтобы выбрать правильный вариант по длинам, полезно затем проверить с помощью косинусной формулы или сравнения сторон: косинусная формула даёт однозначный угол по трём данным (после вычисления стороны/или второго угла).
Резюме
- Синусная теорема — идея пропорции через описанную окружность и площади; удобна при известных углах и одной стороне, для площади по двум сторонам и углу и для восстановления сторон по углам.
- Косинусная теорема — идея про общую «Pythagorean + поправка»; удобна при известных сторонах (SSS) или при двух сторонах и включённом угле (SAS), для вычисления углов по сторонам, для медиан и других выражений через квадраты длин.
- На практике часто используют их вместе: косинусная формула — чтобы получить первый угол из длин, затем синусная — чтобы быстро найти остальные стороны/углы или площадь.