Кратко: в ромбе диагонали всегда перпендикулярны, поэтому угол между диагоналями равен $\pi /2$ и не меняется; как следствие, площадь и радиус вписанной окружности не зависят от некоторого «угла между диагоналями» (он постоянен). Если же имелся в виду зависимость от угла между соседними сторонами (внутреннего угла) $\alpha$, то ниже — формулы, их доказательства и экстремумы.
1) Перпендикулярность диагоналей (короткое доказательство).
Обозначим векторы двух соседних сторон ромба через $\mathbf{u},\mathbf{v}$, $|\mathbf{u}|=|\mathbf{v}|=a$. Диагонали заданы векторами $\mathbf{u}+\mathbf{v}$ и $\mathbf{u}-\mathbf{v}$. Их скалярное произведение
$$(\mathbf{u}+\mathbf{v})\cdot (\mathbf{u}-\mathbf{v})=|\mathbf{u}{|}^2-|\mathbf{v}{|}^2=a^2-a^2=0,$$ следовательно диагонали перпендикулярны и угол между ними $\phi =\pi /2$.
2) Формулы через внутренний угол $\alpha$ (если это то, что требуется).
Диагонали имеют длины
$$d_1=2a\sin \frac{\alpha }{2},d_2=2a\cos \frac{\alpha }{2},$$ так как по теореме косинусов (в треугольнике с двумя сторонами $a$ и углом $\alpha$) длина диагонали равна $a\sqrt{2-2\cos \alpha }=2a\sin \frac{\alpha }{2}$, а вторая диагональ аналогично даёт $2a\cos \frac{\alpha }{2}$. Площадь ромба через диагонали:
$$S=\frac{d_1{d}_2}{2}=\frac{(2a\sin \frac{\alpha }{2})(2a\cos \frac{\alpha }{2})}{2}=a^2\sin \alpha .$$ Радиус вписанной окружности $r$ для вписанного в ромб круга даётся формулой $S=r\cdot s$, где $s$ — полупериметр. Так как периметр $4a$, то $s=2a$, следовательно
$$r=\frac{S}{2a}=\frac{a^2\sin \alpha }{2a}=\frac{a\sin \alpha }{2}.$$
3) Экстремальные значения (при $\alpha \in (0,\pi )$).
Функция $\sin \alpha$ достигает максимума $1$ при $\alpha =\pi /2$ и стремится к $0$ при $\alpha \to 0^{+}$ или $\alpha \to {\pi }^{-}$. Следовательно
$$S_{\max }=a^2\text{при}\alpha =\frac{\pi }{2}(\text{ромб — квадрат}),$$ $$S_{\min }=0\text{(предел при вырождающемся ромбе)}.$$ Для радиуса:
$$r_{\max }=\frac{a}{2}\text{при}\alpha =\frac{\pi }{2},$$ $$r_{\min }=0\text{(предел)}.$$
Итого: угол между диагоналями в любом ромбе равен $\pi /2$ (нет зависимости), а если рассматривать зависимость по внутреннему углу $\alpha$, то
$$S=a^2\sin \alpha ,r=\frac{a\sin \alpha }{2},$$ максимумы при $\alpha =\pi /2$ (квадрат): $S_{\max }=a^2,r_{\max }=a/2$.