Кратко опишу модель и результаты.
Модель (стандартная): даны в пространстве уже построенные точки; разрешено
- «проводить» плоскость через любые три неколлинеарные построенные точки;
- строить сферу с центром в построенной точке и радиусом, равным расстоянию между двух построенных точек;
- получать новые объекты как геометрические пересечения плоскостей и сфер (пересечение двух плоскостей — прямая, плоскости и сферы дают линии/окружности/точки и т. п.).
Что прямо аналогично плоскости (выполнимо в пространстве с шарами и плоскостями)
- Пересечение двух сфер — окружность; пересечение сферы и плоскости — окружность; пересечение двух плоскостей — прямая. Это полностью аналогично пересечению окружностей и прямых в плоскости.
- Все классические постройки «циркулем и линейкой», выполненные внутри какой‑то фиксированной плоскости, можно выполнять и в 3D: достаточно работать в выбранной плоскости (плоскостные окружности — сечения сфер, прямые — пересечения плоскостей), т. е. все плоскостные конструкции встраиваются.
- Конструкции вроде построения середины отрезка, перпендикулярных плоскостей/прямых, биссектрис, описанной окружности треугольника и т. п. имеют трёхмерные аналоги. Пример: чтобы получить середину $M$ отрезка $AB$: строим две сферы с центрами $A$ и $B$ и одинаковым радиусом $r>AB/2$; их пересечение — окружность, лежащая в перпендикулярной серединной плоскости; пересечение этой серединной плоскости с прямой $AB$ даёт точку $M$.
- Общая алгебраическая причина: уравнение плоскости линейно, уравнение сферы квадратично. Разность уравнений двух сфер даёт линейное уравнение (плоскость), поэтому система «несколько сфер + несколько плоскостей» сводится к решениям линейных и квадратичных уравнений — т.е. при каждом шаге вводится не более операции взятия квадратного корня.
Что становится невозможным (те же ограничения, что и у плоскостной геометрии)
- Класс конструкций по алгебраической сложности не расширяется: координаты всех построенных точек лежат в поле, получаемом последовательными квадратичными расширениями начального поля. Иными словами, достижимы только числа, конструктивно получаемые при помощи последовательных извлечений квадратных корней.
- Поэтому остаются невозможными общие задачи, приводящие к неприводимым уравнениям нечётной степени, не сводимым к последовательности квадратных расширений: трисекция произвольного угла, удвоение куба (корень из куба: корень уравнения $x^3-2=0$), построение регулярного 7‑угольника (для вершин нужен корень степенного уравнения, степень расширения $\phi (7)=6$, не степень двойки) и т. п.
- Формально: точка конструктивна тогда и только тогда, когда её координаты лежат в поле, образованном последовательными квадратичными расширениями; значит невозможны конструкции, требующие корней уравнений с неприводимыми множителями степеней, не являющихся степенью $2$.
Конкретные иллюстрации
- Возможное (пример): описанный центр треугольника, заданного тремя точками в одной плоскости — конструкция через серединные плоскости трёх сторон (пересечение двух таких плоскостей даст прямую, пересечение с третьей — точку центра).
- Невозможное (пример): получить точку с абсциссой $\sqrt[3]{2}$ в некоторой системе координат — это потребовало бы решения $x^3-2=0$, что не даётся последовательными квадратичными операциями; потому ни сферы+плоскости в 3D, ни циркуль+линейка в плоскости этого не обеспечат.
Вывод (кратко): сфера в трёхмерном построении играет роль 3D‑аналога окружности, и многие плоскостные конструкции имеют прямые аналоги в пространстве. Алгебраически разрешённый набор операций остаётся ограничен линейными и квадратичными уравнениями, поэтому конструктивная мощность (в терминах допустимых полиномиальных степеней) не превышает мощности классического циркуля и линейки — а значит, все типичные «невозможные» задачи плоскости остаются невозможными и в трёхмерной модели со сферами и плоскостями.