Формулировка. Пусть $P$ — выпуклый $n$-угольник, и прямая $\ell$ пересекает все его стороны и не проходит через вершины. Тогда $n$ чётно, вершины чередуются по сторонам прямой $\ell$; если вершины пронумерованы по кругу $v_1,\dots ,v_{2m}$ так, что ребро $(v_i,v_{i+1})$ пересекает $\ell$ в точке $p_i=\ell \cap (v_i,v_{i+1})$ (индексы по модулю $2m$), то для любых $i<j$ диагональ $[v_i,v_j]$ пересекает $\ell$ тогда и только тогда, когда $i$ и $j$ имеют разную четность; в этом случае точка пересечения $q_{i,j}=\ell \cap [v_i,v_j]$ существует и лежит строго внутри отрезка $(p_i,p_{j-1})$. Следствие: диагонали, пересекающие $\ell$, задаются попарно парами вершин разной четности, и их точки пересечения располагаются на $\ell$ в естественном биективном соответствии с парами $(i,j)$ (или с отрезками $(p_i,p_{j-1})$).
Доказательство.
1) Чередование и чётность $n$. Так как каждая сторона $(v_i,v_{i+1})$ пересекает $\ell$, то её концы лежат по разные стороны от $\ell$. Значит знаки (стороны) вершин при обходе многоугольника чередуются $+,-,+,-,\dots$, следовательно $n$ чётно, $n=2m$.
2) Какие диагонали пересекают $\ell$. Диагональ $[v_i,v_j]$ пересекает $\ell$ тогда и только тогда, когда её концы лежат по разные стороны от $\ell$, т.е. когда $i$ и $j$ имеют разную четность. При этом пересечение единственно, так как прямая и отрезок пересекаются не более чем в одной точке.
3) Положение точки пересечения на $\ell$. Зафиксируем $i<j$ с разной четностью и рассмотрим кусок границы (замкнутую ломаную) $\Gamma =v_i{v}_{i+1}\dots v_j$. Каждое ребро этой ломаной пересекает $\ell$ и даёт точки $p_i,p_{i+1},\dots ,p_{j-1}$; этих точек ровно $j-i$, а так как $i$ и $j$ разной четности, число $j-i$ нечётно. Отрезок $[v_i,v_j]$ вместе с $\Gamma$ образует простую замкнутую ломаную (границу простого многоугольника) — назовём её $B$. По свойству границы простой замкнутой ломаной, число пересечений $B$ с прямой $\ell$ чётно. Пересечения границы $B$ с $\ell$ включают все точки $p_i,\dots ,p_{j-1}$ (их нечётное число) и, возможно, точку $q_{i,j}$. Чтобы суммарное число пересечений стало чётным, должна присутствовать ещё одна точка пересечения — это и есть $q_{i,j}$. Она единственна (см. п.2) и, так как точки $p_i,\dots ,p_{j-1}$ упорядочены вдоль $\ell$ в том же порядке, в каком идут соответствующие ребра, получаем, что $q_{i,j}$ лежит строго между крайними из этих точек, то есть в отрезке $(p_i,p_{j-1})$.
4) Биекция. Отображение, сопоставляющее диагонали, пересекающие $\ell$ (они соответствуют упорядоченным парам вершин разной четности), в внутренности отрезков $(p_i,p_{j-1})$ является взаимно однозначным по построению: каждой такой диагонали соответствует ровно один отрезок $(p_i,p_{j-1})$ и наоборот — каждая пара индексов $(i,j)$ с разной четностью даёт единственную диагональ и единственную точку пересечения на соответствующем отрезке.
Это доказывает формулировку и требуемое утверждение о порядке пересечений диагоналей прямой, пересекающей все стороны выпуклого многоугольника.