Кратко и по существу — критерии аппроксимации и практические методы.
Критерии аппроксимации
- Сохранение длины: итоговая кривая $\gamma$ должна удовлетворять
$$|L(\gamma )-L(P)|\le \epsilon ,$$ где $L(\cdot )$ — длина, $P$ — исходная ломаная.
- Гладкость и «минимум кривизны»: формализовать можно двумя стандартными способами:
- энергийный критерий (сглаживание): минимизировать сгибающую энергию
$$E(\gamma )={\int }_{\gamma }\kappa (s{)}^{2}ds,$$ где $\kappa (s)$ — кривизна по дуге $s$;
- максимальная кривизна: минимизировать $\Vert \kappa {\Vert }_{\infty }={\max }_s|\kappa (s)|$ (если нужен жёсткий предел на радиус поворота).
- Аппроксимация геометрии: обеспечить малое отклонение от ломаной, например по Хаусдорфу или по точкам:
$$d_H(\gamma ,P)\le \delta \text{или}\underset{v\in V}{\max }\mathrm{dist}(v,\gamma )\le \delta ,$$ где $V$ — выбранные опорные вершины.
- Условия на регулярность: требуемая непрерывность $C^1$ или $C^2$ (для контроля кривизны — минимум $C^2$).
- Дополнительно — сохранение начального/конечного положения и направления (если важно для робота):
$$\gamma (0)=p_0,\gamma (1)=p_n,{\gamma }^{\prime }(0)\parallel e_0,{\gamma }^{\prime }(1)\parallel e_n.$$
Геометрические конструкции (быстро и практично)
- Филеты (округление вершин): заменить угол между соседними сегментами дугой окружности или клотойдой, подобрать радиусы $r_i$ так, чтобы суммарная длина изменилась не больше чем $\epsilon$. Для одного угла длина заменяющей дуги $L_{\text{arc}}=r\varphi$, где $\varphi$ — центральный угол.
- Клотоиды (Euler spiral): сегменты с линейно меняющейся кривизной дают плавный переход; полезны для транспортных траекторий (логика: клотоида задаётся уравнением для кривизны $\kappa (s)=as+b$).
- Кубические сплайны (Hermite / B‑spline): стандартный практический выбор для $C^2$-аппроксимации; контроль кривизны через вторые производные.
- B‑spline с локальной корректировкой контрол‑точек — гибко управляет кривизной без глобальных изменений.
Дискретные модели и численные выражения
- Кривизна для параметризованной кривой $\gamma (t)=(x(t),y(t))$:
$$\kappa (t)=\frac{|x^{\prime }(t)y^{\prime \prime }(t)-y^{\prime }(t)x^{\prime \prime }(t)|}{(x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2{)}^{3/2}}.$$ - Дискретная оценка кривизны на ломаной: для вершины с углом ${\theta }_i$ и средней длиной участков ${\ell }_i$:
$${\kappa }_i\approx \frac{{\theta }_i}{{\ell }_i}.$$ - Дискретизация энергии: если представлять $\gamma$ через контрольные точки сплайна $\{P_j\}$, то приближённо
$$E\approx \sum _k\kappa (t_k{)}^2{w}_k$$ (квадратно‑взвешенная сумма по точкам квадратурной сетки).
- Длина кривой вычисляется численно (квадратура):
$$L(\gamma )={\int }_0^1\Vert {\gamma }^{\prime }(t)\Vert dt\approx \sum _k\Vert {\gamma }^{\prime }(t_k)\Vert w_k.$$
Оптимизационная постановка (практическая)
- Параметризация: задать $\gamma$ как кубический B‑spline / piecewise cubic Hermite / набор клотоидных сегментов; параметры — контрольные точки, параметры клотоидов или радиусы филетов.
- Целевая функция (пример):
$$\underset{params}{\min }E(\gamma )+\lambda \cdot D(\gamma ,P)$$ при ограничении длины
$$|L(\gamma )-L(P)|\le \epsilon$$ или с пенальти
$$\min E(\gamma )+\lambda D(\gamma ,P)+\mu (L(\gamma )-L(P){)}^2.$$ Здесь $D(\gamma ,P)$ — мера приближения (напр., сумма квадратов расстояний до опорных точек).
- Численные методы: constrained nonlinear optimization — SQP, augmented Lagrangian, или L‑BFGS с штрафами. Для больших задач — сглаживание + локальная оптимизация.
- Инициализация: важна — взять простую интерполяцию (натуральный кубический сплайн по вершинам с параметризацией по дуге) или последовательно округлять углы (фильтрация Chaikin) — это ускорит сходимость.
Практическая реализация — пошаговый алгоритм
1. Предобработка: убрать шум/мелкие сегменты (Douglas–Peucker с малым порогом), вычислить исходную длину $L(P)$.
2. Выбор модели: B‑spline (если удобны контрольные точки) или последовательность клотоид/арок (если важны ограничения на кривизну).
3. Инициализация: интерполирующий сплайн по вершинам или последовательно применённые филеты.
4. Оптимизация: минимизировать дискретизированное $E$ при условии $|L-L(P)|\le \epsilon$ (или с штрафом). Использовать квадратно‑взвешенную квадруру для оценки интегралов; считать градиенты аналитически (для сплайнов градиенты по контрольным точкам доступны) или численно.
5. Локальная корректировка: если $\Vert \kappa {\Vert }_{\infty }$ превышает желаемое, заменить проблемный участок на клотоид/дугу и повторить локальную оптимизацию.
6. Валидация: проверить длину, максимум и среднюю кривизну, отклонение по Хаусдорфу, плавность ступеней скорости (если нужно).
Замечания и рекомендации
- Минимизация $\int {\kappa }^2$ даёт гладкие решения (эластичные «elastica»), но задача невыпукла — нужна хорошая инициализация.
- Если важен жёсткий предел на кривизну, лучше оптимизировать с ограничением $|\kappa (t)|\le {\kappa }_{\max }$ (это делает задачу сложнее — нелинейное ограничение).
- Для реального робота часто практичнее гибрид: глобальная B‑spline аппроксимация с локальными клотоидами/арками в местах больших углов.
- Вычислительная точность: использовать адаптивную квадруру и контролировать гладкость второго порядка, чтобы корректно оценивать кривизну.
Коротко: формализуйте цели через ограничение длины $|L(\gamma )-L(P)|\le \epsilon$ и минимум энергии $E=\int {\kappa }^{2}ds$ (или минимум $\Vert \kappa {\Vert }_{\infty }$), используйте B‑сплайны или клотоиды для представления, дискретизуйте энергию и длину, и решайте задачу через constrained nonlinear optimization с хорошей инициализацией (филеты/Chaikin/Douglas–Peucker).