Нужно уточнение. Текущая формулировка двусмысленна: вы хотите одну окружность, которая одновременно проходит через все четыре вершины и при этом касается всех сторон? Это невозможно для невырожденного четырёхугольника: если окружность касается прямой $AB$, то эта прямая пересекает окружность в одной точке (касание), а если через неё проходят разные вершины $A$ и $B$, то прямая пересекает окружность в двух разных точках — противоречие. Значит такая единая окружность может существовать лишь в вырожденном случае $A=B$.
Возможно, вы имели в виду другое:
1) Четырёхугольник одновременно вписан и описан (бикентрисный): существует описанная окружность (через вершины) и существует вписанная окружность (касательная всем сторонам). Тогда условие — чтобы четырёхугольник был одновременно цикличен и тангенциальен; эквивалентные формулировки:
- угловое: $\angle A+\angle C=\angle B+\angle D=\pi$ (цикличность) и
- сторонное (Питот): $a+c=b+d$ (вписанная окружность).
Если нужно, я докажу, что эти условия необходимы и достаточны для существования и вписанной, и описанной окружности (бикентрисности), и выведу связующие формулы (включая формулу Брахмагупты для площади и соотношения с радиусами).
2) Или вы имели в виду какую‑то иную задачу про окружности, проходящие через отдельные вершины и касающиеся сторон (например: для каждой вершины провести окружность, проходящую через эту вершину и касающуюся двух соседних сторон)? Уточните, пожалуйста, какую именно конструкцию требуется исследовать.
Скажите, какой из вариантов вы имели в виду — тогда дам сжатое строгое решение с формулами и доказательствами.