Обозначим диагонали $AC$ и $BD$, точку пересечения $O$. Пусть
$$AO=x_1,OC=x_2,BO=y_1,OD=y_2,$$ и угол между диагоналями $\theta$. Положим также отношения
$$r=\frac{AO}{OC}=\frac{x_1}{x_2},s=\frac{BO}{OD}=\frac{y_1}{y_2}.$$
1) Базовая формула площади. Сумма площадей четырёх треугольников даёт
$$S=\frac{1}{2}\sin \theta (x_1{y}_1+y_1{x}_2+x_2{y}_2+y_2{x}_1)=\frac{1}{2}\sin \theta (x_1+x_2)(y_1+y_2).$$ То есть
$$\boxed{S=\frac{1}{2}\sin \theta AC\cdot BD}$$ (здесь $AC=x_1+x_2,BD=y_1+y_2$). Из этой формулы следует главный вывод:
- При фиксированных длинах диагоналей $AC,BD$ и фиксированном угле $\theta$ площадь не зависит от отношений $r$ и $s$ (т.е. от того, как диагонали делят друг друга) — площадь константна.
2) Экстремумы при изменении угла. Если $AC$ и $BD$ фиксированы, то
$$S(\theta )=\frac{1}{2}AC\cdot BD\sin \theta ,$$ максимум достигается при $\theta =\frac{\pi }{2}$ (перпендикулярные диагонали), $S_{\max }=\frac{1}{2}AC\cdot BD$; минимум $S=0$ при $\theta =0,\pi$ (вырождение).
3) Другие естественные ограничения на отношения. Если вместо фиксированных сумм $AC,BD$ заданы, например, фиксированные произведения $x_1{x}_2=P$ и $y_1{y}_2=Q$ (и $\theta$ фиксирован), то
$$S=\frac{1}{2}\sin \theta (r+1)(s+1)x_2{y}_2=\frac{1}{2}\sin \theta (r+1)(s+1)\sqrt{\frac{PQ}{rs}}.$$ При фиксированном $s$ функция по $r>0$ $$f(r)=\frac{r+1}{\sqrt{r}}$$ имеет единственную критическую точку $r=1$ и она даёт минимум (так как $f(r)\to \infty$ при $r\to 0^{+}$ и $r\to \infty$). Аналогично по $s$. Следовательно:
- При фиксированных $x_1{x}_2$ и $y_1{y}_2$ площадь минимальна при $r=s=1$ (точка пересечения — середины диагоналей), а при стремлении $r$ или $s$ к $0$ или $\infty$ площадь растёт неограниченно (при прочих фиксированных данных).
Выводы — кратко:
- При фиксированных длинах диагоналей и фиксированном угле между ними площадь не зависит от отношений $r,s$ (нет экстремумов по этим переменным).
- При позволенных изменениях угла максимум при $\theta =\pi /2$, минимум при вырождении.
- При других заданных ограничениях (например, фиксированные произведения частей диагоналей) экстремумы по $r,s$ обычно достигаются при симметрии $r=s=1$ (и это минимум в приведённом примере).