Кратко — метод доказательства и сравнение.
Идея (для четного многоугольника с вершинами $A_1,\dots ,A_{2n}$). Разместим в каждой вершине единичную массу. Операция «сведение двух масс» в точках $X,Y$ означает замену масс $m_X,m_Y$ массой $m_X+m_Y$ в их центре тяжести (барицентре) $\frac{m_{X}X+m_{Y}Y}{m_X+m_Y}$. Для равных масс это просто середина отрезка.
Метод доказательства через массы:
- Необходимость. Если многоугольник центрально симметричен с центром $O$, то по определению для всех $k$ $$A_k+A_{k+n}=2O,$$ и при сведении каждой пары равных единичных масс в $A_k$ и $A_{k+n}$ получаем массу $2$ в точке
$$\frac{A_k+A_{k+n}}{2}=O.$$ После $n$ таких операций вся масса сосредоточится в точке $O$.
- Достаточность. Если при сведении пар $(A_k,A_{k+n})$ (или при последовательном попарном сведении по любому правилу, сохраняющему суммарный момент) вся масса оказывается в одной точке $O$, то для каждой пары её центр тяжести равен $O$, то есть
$$\frac{A_k+A_{k+n}}{2}=O\Rightarrow A_k+A_{k+n}=2O,$$ что именно выражает центральную симметрию. Таким образом условие на центры масс эквивалентно векторному условию.
Ключевые замечания:
- Операции с массами формально эквивалентны использованию аффинных (барицентрических) координат: центр тяжести $G$ всех вершин равен
$$G=\frac{1}{2n}\sum _{k=1}^{2n}{A}_k,$$ и попарные сведения дают середины $\frac{A_k+A_{k+n}}{2}$.
- Метод работает строго для четного числа вершин (не существует центра симметрии у многоугольника с нечётным числом вершин).
Сравнение с векторными доказательствами и педагогические преимущества
1) Интуиция и доступность
- Массы: более наглядно и «физично» — ученики понимают идею баланса/уравновешивания; удобно для демонстраций и пошаговых конструкций.
- Векторы: требует понимания алгебры векторов и сумм; менее наглядно для начального уровня.
2) Формализм и компактность
- Массы: даёт конструктивный алгоритм (последовательное сведение), полезен в задачах построения; доказательство более «синтетическое».
- Векторы: кратко и формально — одно равенство $A_k+A_{k+n}=2O$ даёт всё; удобен для алгебраических обобщений.
3) Обобщаемость
- Массы/барицентрические координаты: естественно обобщаются на случаи с разными весами, на задачи о взвешенных центрах и на полигоны в аффинной геометрии; хорошо сочетаются с идеей мер и средних.
- Векторы: легко связаны с линейной алгеброй, матрицами и преобразованиями; удобны для аналитических доказательств и вычислений в координатах.
4) Методика преподавания
- Для начинающих: начать с масс — формирует интуитивное понимание центра тяжести и аффинных средних.
- Для продвинутых: векторы и координаты дают компактные доказательства и переход к общим линейным методам.
Вывод
- Операции с массами дают «конструктивное» и наглядное доказательство теоремы о центральной симметрии, эквивалентное векторному, но более интуитивное. Векторный подход короче и мощнее для алгебраических обобщений. В преподавании полезно сначала ввести массу/барицентрические идеи, затем показать их эквивалентность векторной записи и преимущества каждого метода.