Краткий ответ (геометрия). Множество центров всех сфер, касающихся обеих плоскостей ${\pi }_1,{\pi }_2$ и проходящих через фиксированную точку $A$, представляет собой объединение двух кривых, лежащих в двух плоскостях-биссек­трисах двугранного угла между ${\pi }_1$ и ${\pi }_2$. На каждой биссектрисе центры удовлетворяют уравнению
радиального равенства расстояния до точки $A$ и расстояния до плоскости, поэтому в каждой биссектрисе получается коника (вырожденный или невырожденный случай зависит от положения $A$ и угла между плоскостями).
Общее уравнение (векторный вид). Пусть ${\pi }_i:{\mathbf{u}}_i\cdot \mathbf{x}+c_i=0$ с единичными нормалями ${\mathbf{u}}_i$ $(i=1,2)$. Центр $\mathbf{O}$ должен удовлетворять
1) равенству расстояний до плоскостей (знаковой случай $\epsilon =\pm 1$):
$$({\mathbf{u}}_1-\epsilon {\mathbf{u}}_2)\cdot \mathbf{O}+c_1-\epsilon c_2=0$$ (это уравнение одной из двух биссектрис), и
2) условию прохождения шара через $A$ (с радиусом $r=\mathrm{dist}(\mathbf{O},{\pi }_1)={\mathbf{u}}_1\cdot \mathbf{O}+c_1$ по неотрицательному значению):
$$\Vert \mathbf{O}-\mathbf{A}{\Vert }^2=({\mathbf{u}}_1\cdot \mathbf{O}+c_1{)}^2.$$ Комбинация этих двух уравнений (для $\epsilon =+1$ и для $\epsilon =-1$) даёт искомое геометрическое место (две коники, одна в каждой биссектрисе).
Явные координаты (частный удобный выбор). Поставим начало на линии пересечения ${\pi }_1\cap {\pi }_2$ и ось $z$ вдоль этой линии; положим
$${\pi }_1:\cos \varphi x-\sin \varphi y=0,{\pi }_2:\cos \varphi x+\sin \varphi y=0.$$ Тогда биссектрисы — плоскости $y=0$ и $x=0$.
Пусть $A=(x_0,y_0,z_0)$, центр $O=(x,y,z)$.
- Для биссектрисы $y=0$ условие равно
$$(x-x_0{)}^2+y_0^2+(z-z_0{)}^2=(x\cos \varphi {)}^2,$$ или
$${\sin }^2\varphi x^2-2x{x}_0+x_0^2+y_0^2+(z-z_0{)}^2=0.$$ - Для биссектрисы $x=0$ условие равно
$$x_0^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2=(y\sin \varphi {)}^2,$$ или
$${\sin }^2\varphi y^2-2y{y}_0+x_0^2+y_0^2+(z-z_0{)}^2=0.$$
Каждое из этих уравнений задаёт конику в соответствующей биссектрисе (вырождение возможно).