Привожу несколько различных доказательств теоремы Пифагора с краткими пояснениями и анализом их пригодности для построений и обобщений на негипотенузные треугольники.
1) Доказательство через подобие треугольников (классическое, «Евклид/альти́туда»).
К треугольнику $ABC$ с прямым углом при $C$ опустим высоту $CH$ на гипотенузу $AB$. Получаем подобные треугольники $ABC\sim ACH\sim BCH$. Отсюда, например,
$$a^2=c\cdot p,b^2=c\cdot q,$$ где $a=BC,b=AC,c=AB,p=AH,q=HB$. Складывая,
$$a^2+b^2=c(p+q)=c^2.$$ Почему удобно: использует только элементарную геометрию (подобие, высоту), легко реализуется построениями. Для обобщения в негипотенузных треугольниках этот подход даёт переход к соотношениям проекций и к формуле косинусов через разложение стороны на проекции, но прямой «перенос» формулы $a^2+b^2=c^2$ невозможен — естественным обобщением является
$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma .$$
2) Доказательство перестановкой (Bhaskara / квадрат с четырьмя треугольниками).
Рассмотрим квадрат со стороной $a+b$, в нём разместим четыре равных прямоугольных треугольника со сторонами $a,b,c$. Площадь большого квадрата равна сумме площадей четырёх треугольников и внутреннего малого квадрата со стороной $c$:
$$(a+b{)}^2=4\cdot \frac{ab}{2}+c^2\Rightarrow a^2+b^2=c^2.$$ Почему удобно: очень наглядно и напрямую связано с конструкциями (собирать/разрезать фигуры). Хорошо подходит для задач построения и визуальных аргументов. Для негипотенузных треугольников аналог перестановки не даёт простого точного аналога; можно получить косинусную поправку, но это уже менее естественно.
3) Доказательство по формуле площади / Гарфилда (через трапецоид).
Построим трапецию, составленную из двух равных прямоугольных треугольников; сравним площадь двумя способами (через основания и высоту и через сумму площадей фигур). Получаем то же соотношение $a^2+b^2=c^2$. (Схема похожа на перестановку, но аргумент — через площади.)
Почему удобно: также простое и конструктивное. Обобщение на негипотенузные треугольники опять требует учёта угла между сторонами → формула косинусов.
4) Алгебраическое (координатное) доказательство.
Поместим прямой треугольник так, чтобы $C=(0,0),A=(a,0),B=(0,b)$. Тогда
$$c^2=(a-0{)}^2+(0-b{)}^2=a^2+b^2.$$ Почему удобно: легко формализуется и переводится в аналитическую геометрию и векторный язык. Для обобщения это самый прямой путь к формуле косинусов: если векторы $u,v$ имеют угол $\gamma$, то
$$|u-v{|}^2=|u{|}^2+|v{|}^2-2u\cdot v$$ и при $u\cdot v=|u||v|\cos \gamma$ получаем
$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma .$$ Аналитический/векторный подход легко обобщается на произвольные многомерные случаи и негипотенузные треугольники.
5) Доказательство через скалярное произведение (векторное).
Пусть стороны заданы векторами $a,b$ под прямым углом: $a\cdot b=0$. Тогда
$$|a+b{|}^2=|a{|}^2+2a\cdot b+|b{|}^2=|a{|}^2+|b{|}^2.$$ Это есть Пифагор. Для обобщения сразу даёт формулу косинусов, заменяя условие ортогональности на $a\cdot b=|a||b|\cos \gamma$.
Краткий анализ адаптируемости
- Для задач построения (прямые построения, разрезания, доказательства «на линейке и циркуле»): наиболее пригодны геометрические и перестановочные доказательства (пункты 1,2,3). Они опираются на подобие, построение высоты и на разрезание/перестановку фигур — всё это естественно выполняется в классическом строительном аппарате Евклида.
- Для обобщений на произвольные (негипотенузные) треугольники: наиболее гибкие алгебраические/векторные и координатные доказательства (пункты 4 и 5). Они прямо дают формулу косинусов
$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma ,$$ а также легко переводятся в теоремы типа Стюарта и в проекционные соотношения. Доказательства через подобие тоже могут быть адаптированы для получения проекционных формул (разложение по проекциям), но это требует дополнительных шагов и учета знаков для острых/тупых углов.
Вывод (коротко): для конструктивных задач и наглядных доказательств лучше перестановки и подобие; для алгебраических обобщений и работы с углами удобнее аналитический/векторный подход, который прямо приводит к формуле косинусов и другим обобщениям.