Кратко — определения, критерии и примеры.
Что такое «жёсткость» (rigidity) для каркаса (bar-and-joint, граф $G$ с вершинами в позициях $p_i\in {\mathbb{R}}^3$):
- Деформация сохраняет длины рёбер $ij$, т.е. для всех рёбер $ij$ выполняется $|p_i(t)-p_j(t)|=$ const.
- Инфинитезимальная деформация задаётся скоростями $u_i$ при $p_i(t)=p_i+t{u}_i+o(t)$. Условие сохранения длин в первом порядке:
$$(p_i-p_j)\cdot (u_i-u_j)=0\text{для всех рёбер}ij.$$ - Тривиальные инфинитезимальные деформации — три сдвига и три вращения; уравнение имеет всегда размерность по крайней мере $6$ (если конфигурация не вырождена).
Инфинитезимальная жёсткость: нулевая пространство линейной системы (выше) имеет ровно размерность $6$. Глобальная (жёсткая) невозможность плавной неневырожденной деформации при фиксированных длинах рёбер означает, что единственные непрерывные движения — евклидовы изометрии.
Основные теоремы и условия для выпуклого многогранника:
- Теорема Коши (Cauchy, 1813): два выпуклых многогранника со строгим соответствием граней и одинаковыми по форме и размеру гранями совпадают с точностью до движения; как следствие, выпуклая поверхность с жёсткими гранями не может «гнуться» — нет немонотонного изменения формы при сохранении граней.
- Теорема Дена (Dehn, 1916): выпуклые многогранники инфинитезимально жёстки — у них нет нетривиальных инфинитезимальных деформаций, сохраняющих длины рёбер.
- Следствие: для выпуклого многогранника (после триангуляции граней, если нужно) любое сохранение всех длин рёбер допускает только трёхмерные движения и вращения — плавного изменения формы при фиксированных рёбрах не существует.
Общие замечания по графам и общим условиям:
- Для триангулированной сферы (симплициальная 2‑сфера) «генерически» (для почти всех позиционирований вершин) инфинитезимальная жёсткость выполняется (Gluck, 1975).
- Для глобальной жёсткости графа в ${\mathbb{R}}^3$ известны необходимые условия (Hendrickson): граф должен быть лишним образом жёстким (redundantly rigid) и $(d+1)$-связным, т.е. для ${\mathbb{R}}^3$ — 4‑связным; эти условия не всегда достаточны в общем случае, но для многих классов графов работают.
- Линейная проверка инфинитезимальной жёсткости сводится к рангу матрицы уравнений $(p_i-p_j)\cdot (u_i-u_j)=0$. Инфинитезимально жёсток, если ранг равен $3n-6$ (для $n$ невырожденных вершин).
Возможность плавного изменения формы при фиксированных рёбрах:
- Для выпуклых многогранников — невозможно (по Dehn/Cauchy): нет плавных неневырожденных гибов.
- Гибкие примеры существуют, но все известные гибкие многогранники невыпуклые:
- Октаэдры Бриккара (Bricard) — самопересекающиеся гибкие октаэдры.
- Пример Коннелли (Connelly, 1977) — замкнутая невыпуклая невзаимопересекающаяся гибкая «сфера».
- Самый маленький известный невзаимопересекающийся гибкий каркас — многогранник Штеффена (Steffen’s polyhedron).
- Вывод: гибкость возможна, но только в невыпуклой (и часто самопересекающейся) ситуации; выпуклая поверхность жёстка.
Примеры:
- Жёсткие: тетраэдр (сам по себе полностью определён длинами рёбер), любая триангулированная выпуклая поверхность (например, триангулированный куб), общая выпуклая многогранная поверхность — жёстки.
- Гибкие (невыпуклые): Bricard octahedra (самопересекающиеся), Connelly sphere (невзаимопересекающаяся гибкая поверхность), Steffen’s polyhedron (минимальный невзаимопересекающийся гибкий пример).
Короткая инструкция для проверки жёсткости конкретного каркаса:
1. Составить систему линейных уравнений $(p_i-p_j)\cdot (u_i-u_j)=0$.
2. Найти ранг матрицы; если ранг $=3n-6$, инфинитезимально жёсток (нет нетривиальных первых производных гибов).
3. Для строгой глобальной жёсткости дополнительно проверяют избыточную жёсткость и связность графа; но строгую гарантию глобальной жёсткости в общем случае дают теоремы для выпуклых или специальных классов графов.
Итог: для выпуклого многогранника любые деформации, сохраняющие длины рёбер, даются лишь евклидовыми движениями — нет плавного изменения формы; гибкость возможна только для невыпуклых каркасов (примеры: Bricard, Connelly, Steffen).