Формулировки (с ориентированными отрезками).
- Теорема Чевы. В треугольнике $ABC$ точки $D\in BC,E\in CA,F\in AB$. Прямые $AD,BE,CF$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда
$$\frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}\cdot \frac{AF}{FB}=1.$$
- Теорема Менелая. В треугольнике $ABC$ прямая (трансверзаль) пересекает прямые $BC,CA,AB$ (возможно в продолжениях) в точках $D,E,F$. Точки $D,E,F$ коллинеарны тогда и только тогда, когда (с ориентированными отрезками)
$$\frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}\cdot \frac{AF}{FB}=-1.$$ (Если пользоваться беззнаковыми отношениями и учитывать попадание в продолжения, пишут эквивалентное условие с модулем.)
Краткие доказательства (эссенция).
- Чева через площади. Для точки $D\in BC$ $$\frac{BD}{DC}=\frac{[ABD]}{[ADC]},$$ поскольку высоты из $A$ в треугольниках $ABD$ и $ADC$ равны. Аналогично для двух других точек. Если $AD,BE,CF$ пересекаются в одной точке $P$, то, разбивая треугольник на шесть малых, получаем после перемножения трёх равенств нужное равенство $1$. Обратно: из равенства используют соотношения площадей, чтобы показать, что центры масс «сходятся» в одной точке, т.е. прямые пересекаются.
- Менелай через подобие/отношения отрезков. Рассмотрим трансверзаль, пересекающую стороны (или их продолжения) в $D,E,F$. Из равенств, получаемых из парах равных углов и подобных треугольников (или из отношений площадей с учётом направлений), следует произведение трёх отношений равно $-1$. Обратно: из этого произведения строится семейство отношений, которые дают коллинеарность точек (стандартный обратный шаг).
Сравнение доказательств и связь теорем.
- Оба утверждения основаны на одинаковой алгебраической идее: произведение трёх отношений отрезков вдоль сторон треугольника. Различие: Чева относится к условию concurrency (три прямые проходят через одну точку), Менелай — к условию коллинеарности трёх точек на трансверзали. Формулы отличаются знаком (в ориентированном виде) из-за различия конфигурации (для Менелая одна из пересечений берётся на продолжении стороны).
- Проективная точка зрения: Чева и Менелай — «дуальные» теоремы: под проектной дуальностью коллинеарность точек переводится в сопряжённость прямых; условие Менелая превращается в условие Чевы и наоборот. Поэтому доказательство одной теоремы можно получить формально как дуальное доказательство другой в проективной геометрии.
Примеры применения и переходы.
1) Использование Менелая для нахождения деления стороны. Пусть в $ABC$ даны $D\in BC$ и $E\in CA$; требуется найти $F\in AB$, чтобы $D,E,F$ лежали на одной прямой. По Менелаю
$$\frac{AF}{FB}=-\frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}.$$ Например, если $BD/DC=1$ (то есть $D$ — середина $BC$) и $CE/EA=2$, то
$$\frac{AF}{FB}=-1\cdot 2=-2,$$ т.е. $F$ лежит на продолжении $AB$ и отрезки делятся в отношении $2:1$ с учётом направления.
2) Пример для Чевы (медианы). Пусть $D,E,F$ — середины сторон $BC,CA,AB$. Тогда
$$\frac{BD}{DC}=\frac{CE}{EA}=\frac{AF}{FB}=1,$$ их произведение равно $1$, значит медианы пересекаются в одной точке (центре масс) — обычный частный случай Чевы.
3) Получение Чевы «от» Менелая через дуальность (схема). Возьмём доказательство Менелая, оформим его проектно (используя понятия коллинеарности и перекрёстных отношений). Применяя дуальность: каждой точки сопоставляем прямую, каждой прямой — точку; коллинеарность трёх точек переходит в сопряжённость трёх прямых (пересечение в одной точке), а отношение отрезков переходит в соответствующие кросс-отношения; формула Менелая превращается в формулу Чевы. Это даёт формальное получение Чевы из Менелая (и наоборот) в рамках проективной геометрии.
Совместное применение (типичные задачи).
- Часто сначала по Чеве доказывают, что три заданные прямые пересекаются (например, в задаче с биссектрисами, медианами, высотами и т. п.), а затем по Менелаю исследуют, лежит ли линия, соединяющая некоторые точки пересечения, на одной прямой, или вычисляют неизвестное отношение отрезков на сторонах.
- Комбинация полезна при решении задач, где часть условий даёт коллинеарность, часть — concurrency; переходя между условием о конкордантности и условием о коллинеарности, используют соответствующие формулы для вычислений.
Короткая итоговая мысль: обе теоремы — две стороны одной алгебраической идеи про мультипликативные отношения отрезков в треугольнике; доказательства либо через площади/подобие (эвклидово), либо посредством дуальности (проективно). Менелай удобен для задач про одну прямую, Чева — для задач про три прямые; при необходимости одну теорему можно получить из другой через проектную дуальность.