Рассмотрим функцию сумы квадратов расстояний
$$F(P)=P{A}^2+P{B}^2+P{C}^2.$$
1) Нахождение точки минимума. Векторный способ. Пусть векторные координаты вершин и точки $P$ равны $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c},\mathbf{p}$. Введите центроид $G$ с вектором $\mathbf{g}=(\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c})/3$. Тогда
$$F(P)=\Vert \mathbf{p}-\mathbf{a}{\Vert }^2+\Vert \mathbf{p}-\mathbf{b}{\Vert }^2+\Vert \mathbf{p}-\mathbf{c}{\Vert }^2=3\Vert \mathbf{p}-\mathbf{g}{\Vert }^2+\Vert \mathbf{g}-\mathbf{a}{\Vert }^2+\Vert \mathbf{g}-\mathbf{b}{\Vert }^2+\Vert \mathbf{g}-\mathbf{c}{\Vert }^2,$$ потому что $\sum (\mathbf{g}-\mathbf{a})=0$. Отсюда $F(P)$ минимальна тогда и только тогда, когда $\mathbf{p}=\mathbf{g}$, т.е. минимизирующая точка — центроид $G$. Минимум единственен (квадратичная строго выпуклая функция).
2) Связь с медианами. Центроид $G$ — точка пересечения медиан треугольника; она делит каждую медиану в отношении $2:1$ (ближе к вершине). Итак, точка, минимизирующая сумму квадратов расстояний до вершин, лежит на пересечении медиан (это и есть $G$).
3) Связь с Ферма‑точкой. Ферма (Торричелли) минимизирует сумму расстояний
$$S(P)=PA+PB+PC,$$ и в общем не совпадает с центроидом. Для треугольника с острыми углами Ферма — внутренняя точка с углами по $120^{\circ }$ к вершинам; если в треугольнике есть угол $\ge 120^{\circ }$, то Ферма совпадает с соответствующей вершиной. Центроид же всегда внутренний и определяется как среднее вершин. Следовательно, в общем случае центроид и Ферма различны.
4) Условия совпадения. Все стандартные центры (включая центроид и Ферма) совпадают только в равностороннем треугольнике. Поэтому точка, минимизирующая сумму квадратов расстояний (центроид), совпадает с Ферма‑точкой тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний.
Краткая сводка:
- Минимум $P{A}^2+P{B}^2+P{C}^2$ достигается при $P=G$, где $G=\frac{A+B+C}{3}$.
- $G$ — пересечение медиан (делит их в отношении $2:1$).
- Ферма‑точка минимизирует сумму линейных расстояний и обычно не равна $G$; совпадение происходит лишь для равностороннего треугольника.