Коротко и по существу.
Настройка. Пусть куб со стороной $a$ центрирован в начале координат, вершины в $(\pm a/2,\pm a/2,\pm a/2)$. Вырезаются четырьмя одинаковыми усечёнными (в смысле по тем же параметрам) конусами в четырёх вершинах одного чётного класса (вершины, образующие правильный тетраэдр). Обозначим полуоткрытие (угол между осью конуса и образующей) $\theta$.
1) Объём
- Солид-угол полного конуса с полуоткрытием $\theta$ равен
$\Omega (\theta )=2\pi (1-\cos \theta )$.
- При малых $\theta$ сечение конуса внутри куба почти ограничено одинаковой радиальной длиной вдоль оси, примерно $R\approx a\sqrt{3}$ (расстояние от вершины по диагонали до противоположной вершины). Тогда объём, вырезаемый одним конусом, в первом приближении
$V_{\text{cut}}\approx \frac{\Omega (\theta )R^3}{3}$,
и объём многогранника примерно
$V_{\text{new}}=a^3-4V_{\text{cut}}.$ - Следствие: при увеличении $\theta$ удаляемый объём монотонно растёт (по крайней мере до момента пересечения с рёбрами/центром), поэтому объём многогранника убывает. Для малых $\theta$ имеем $\Omega (\theta )\sim \pi {\theta }^2$, значит вырезанный объём $\sim {\theta }^2$.
2) Площадь поверхности
- Новая поверхность = исходная площадь куба минус площадки трёх гран вокруг каждой вершины, которые удаляются, плюс боковая поверхность каждого усечённого конуса:
$S_{\text{new}}=6a^2-4S_{\text{removed}}+4S_{\text{cone}}$.
- Асимптотика при малых $\theta$:
- типичный радиус «основания» конусного выреза $r_{\mathrm{b}}\sim R\theta$, поэтому площадь удалённых маленьких треугольников $\sim (r_{\mathrm{b}}{)}^2\sim R^2{\theta }^2$;
- боковая поверхность конусного куска в первом приближении пропорциональна $R\cdot r_{\mathrm{b}}\sim R^2\theta$.
Значит при очень малых $\theta$ добавляемая боковая площадь растёт как $\sim \theta$, а убираемая — как $\sim {\theta }^2$. Следствие: при малом увеличении $\theta$ суммарная площадь поверхности возрастает (латеральная поверхность доминирует).
- По мере дальнейшего роста $\theta$ боковая поверхность продолжает расти, но одновременно растут и удаляемые участки гран (и изменяется форма границы; при достижении критического угла начинатся пересечение с рёбрами). Поэтому суммарная площадь имеет обычно максимум при некотором промежуточном $\theta$; при ещё больших $\theta$ (когда вырезы становятся крупными и/или перерастают в пересечения) поведение может меняться и суммарная площадь может снизиться. Точный вид зависимости $S_{\text{new}}(\theta )$ требует вычисления геометрии пересечений (точные формулы сложны), но качественно:
- объём: монотонно убывает с $\theta$;
- площадь: растёт при очень малых $\theta$, имеет критическую точку (максимум) при некотором $\theta$, затем может уменьшаться при дальнейшем увеличении угла.
3) Границы применимости, критический угол
- Внутри октанта конус остаётся полностью «внутри» гран, пока $\theta <{\theta }_0=\arccos (1/\sqrt{3})\approx 54.7356^{\circ }$. При $\theta ={\theta }_0$ поверхность конуса касается рёбер; при большем $\theta$ меняется топология пересечения (конусный край выходит на рёбра и далее на соседние грани), и простые приближения выше перестают быть корректными.
4) Сохранённые симметрии
- Выбор четырёх вершин одного чётного класса (вершины, образующие регулярный тетраэдр) сохраняет подмножество симметрий куба: симметрии, которые переставляют эти четыре вершины между собой. Это — тетраэдральная группа.
- Если учитывать только повороты (ориентационно сохраняющие изометрии), сохраняется вращательная тетраэдральная группа из 12 элементов (изоморфна $A_4$).
- Если учитывать также отражения/неориентационно сохраняющие преобразования, сохраняется полный тетраэдральный (фулл) подгруппа кубической группы порядка 24 (изоморфна $S_4$).
- Иначе: полная октаэдральная симметрия куба нарушается, остаётся симметрия, изоморфная симметриям правильного тетраэдра, переставляющая выбранные четыре вершины.
Короткий итог:
- При возрастании угла конуса объём многогранника монотонно уменьшается; при малых углах уменьшение объёма $\sim {\theta }^2$.
- Поведение площади не монотонно: при очень малых углах она растёт (латеральная поверхность конуса доминирует), затем достигает экстремума и при больших углах может уменьшаться; точные переходы зависят от геометрии пересечений (критическое событие при ${\theta }_0=\arccos (1/\sqrt{3})$).
- Сохраняется тетраэдральная симметрия (ротационная группа порядка 12, при учёте отражений — полная тетраэдральная группа порядка 24).