Краткий ответ с построением и обоснованием.
Обозначим данные высоты $h_a,h_b,h_c>0$. Введём обозначения
$$x_a=\frac{1}{h_a},x_b=\frac{1}{h_b},x_c=\frac{1}{h_c}.$$
1) Необходимое и достаточное условие существования.
Пусть искомый треугольник имеет стороны $a,b,c$ против вершин $A,B,C$ и площадь $S$. Тогда
$$a=\frac{2S}{h_a},b=\frac{2S}{h_b},c=\frac{2S}{h_c},$$ и поэтому
$$a:b:c=x_a:x_b:x_c.$$ Подставляя в неравения треугольника, получаем независимые от $S$ условия
$$\frac{1}{h_a}<\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c},\frac{1}{h_b}<\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_c},\frac{1}{h_c}<\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b},$$ или кратко — числа $x_a,x_b,x_c$ удовлетворяют неравенствам треугольника. Эти условия также достаточны (см. ниже). Если хотя бы одно равенство выполняется строго в знак равенства, треугольник вырождается, поэтому требований строгости нужно.
2) Единственность.
Из уравнений выше площадь $S$ однозначно определяется соотношением (через Heron для треугольника со сторонами $x_a,x_b,x_c$). Пусть $S_x$ — площадь (числовая величина) треугольника со сторонами $x_a,x_b,x_c$. Тогда прямой алгебраический вывод даёт
$$S=\frac{1}{4S_x}.$$ Тогда стороны $a,b,c$ вычисляются однозначно: $a=2S{x}_a,b=2S{x}_b,c=2S{x}_c$. Следовательно (с точностью до зеркального отражения) треугольник единственен.
3) Построение (компасом и линейкой), схема.
- Выполните проверку условий: убедитесь, что $x_a,x_b,x_c$ удовлетворяют неравенствам треугольника. Если нет — построение невозможно.
- Постройте численно (геометрически) отрезки пропорциональные $x_a,x_b,x_c$. Практически: построьте отрезки, каждому заданному $h_i$ сопоставив отрезок $x_i$ как обратную величину (построение обратного отношения делением отрезков с помощью подобия: взять произвольный «единичный» отрезок $u$, и по треугольнику получить $x_i=u/h_i$). (Все операции сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного корня выполнимы циркулем и линейкой.)
- По отрезкам $x_a,x_b,x_c$ постройте треугольник $X$ со сторонами ровно $x_a,x_b,x_c$ (возможен по проверке выше).
- Найдите его площадь $S_x$ геометрически (формула Герона: сначала полупериметр $p_x=(x_a+x_b+x_c)/2$, затем $S_x=\sqrt{p_x(p_x-x_a)(p_x-x_b)(p_x-x_c)}$ — все четыре операции конструктивны).
- Возьмите масштабный множитель
$$\lambda =\frac{1}{2S_x}.$$ Умножив треугольник $X$ на коэффициент $\lambda$ (построить отрезки $\lambda x_a,\lambda x_b,\lambda x_c$ стандартными приёмами подобия), получите искомые стороны
$$a=\lambda x_a,b=\lambda x_b,c=\lambda x_c.$$ - Дальше собрать треугольник по трём сторонам — это стандартная конструкция.
4) Краткое обоснование корректности.
Для полученных таким образом $a,b,c$ выполнено $a=\frac{2S}{h_a}$ с тем самым $S=\frac{1}{4S_x}$, поэтому высоты будут равны заданным $h_a,h_b,h_c$. Формулы доказывают, что при выполнении условий на $x_i$ значение $S$ и, следовательно, $a,b,c$ уникальны.
Итог: конструкция возможна тогда и только тогда, когда числа $\frac{1}{h_a},\frac{1}{h_b},\frac{1}{h_c}$ могут быть длинами сторон некоторого треугольника (то есть удовлетворяют треугольным неравенствам). При этом треугольник, если существует, единствен (с точностью до зеркального отражения).