Кратко опишу общую постановку и затем рассмотрю два типичных примера (вершина $A$ движется по прямой или по окружности). Пусть вершины треугольника обозначены $A,B,C$; в рассуждениях удобно считать $B=(-c,0),C=(c,0)$ (т. е. середина $BC$ в начале координат, перпендикулярный биссектор — ось $Oy$). Обозначим центры: $O$ — описанный, $H$ — ортоцентр, $I$ — вписанный.
1) Общие факты (коротко, доказательства очевидны)
- Описанный центр $O$ всегда лежит на перпендикулярном биссекторе стороны $BC$. Доказательство: центр окружности, проходящей через $B$ и $C$, равноудален от $B$ и $C$ ⇒ лежит на биссекторе.
- Вписанный $I$ даётся векторной формулой (барицентр по длинам сторон)
$$I=\frac{aA+bB+cC}{a+b+c},$$ где $a=|BC|,b=|CA|,c=|AB|$.
- Ортоцентр и описанный связаны линейно:
$$H=A+B+C-2O.$$ (Доказательство: в координатах с началом в $O$ радиус-векторы вершин имеют модуль $R$, сумма этих векторов равна радиусу-вектору ортоцентра относительно $O$.)
2) Параметризация при общей установке
Пусть $A=(u,v)$ (переменная точка). Тогда из равенства $OA=OB$ (и $O=(0,t)$) получаем
$$u^2+(v-t{)}^2=c^2+t^2⟹t=\frac{u^2+v^2-c^2}{2v}.$$ Отсюда:
- Описанный центр $O=(0,t)$ однозначно определяется $A$ формулой выше; следовательно для любых движений $A$ траектория $O$ — подмножество прямой перпендикулярного биссектора $x=0$, конкретно множество точек
{ (0,t) ∣ t=u2+v2−c22v для (u,v)∈Γ }, \Big\{\,(0,t)\ \Big|\ t=\frac{u^2+v^2-c^2}{2v}\text{ для }(u,v)\in\Gamma\,\Big\},
{(0,t) t=2vu2+v2−c2 для (u,v)∈Γ}, где $\Gamma$ — кривая, по которой движется $A$.
- Ортоцентр по формуле $H=A+B+C-2O$ даёт координаты
$$H=(u,v-2t).$$ Подставляя выражение для $t$,
$$H_x=u,H_y=v-\frac{u^2+v^2-c^2}{v}=\frac{c^2-u^2}{v}.$$ - Вписанный $I$ через стороны даётся нелинейно (корни квадратные: $b=|CA|=\sqrt{(u-c{)}^2+v^2}$ и т. д.), поэтому его зависимость от $A$ — немероприятно выражаемая рационально функция.
3) Случай: $A$ движется по прямой $v=ku+b$ - Для описанного центра: подставка в формулу для $t$ даёт рациональную функцию
$$t(u)=\frac{u^2+(ku+b{)}^2-c^2}{2(ku+b)}.$$ Следовательно $O$ описывает некоторый отрезок (или луч, или множество точек) на прямой $x=0$ — именно те $t$ для которых существует $u$. Это тривиальный факт: $O$ всегда на $x=0$; при движении $A$ по прямой $O$ монотонно изменяет координату $t$ по указанной формуле (возможны разрывы в точках, где $v=0$).
- Для ортоцентра: подставка $v=ku+b$ в предыдущую формулу даёт параметризацию
$$H(u)=(u,\frac{c^2-u^2}{ku+b}).$$ Устраняя параметр $u$ получаем уравнение второго порядка для координат $(X,Y)$ точки $H$:
$$X^2+kXY+bY-c^2=0.$$ Это уравнение коники (квадратическое) в плоскости. Следовательно при движении вершины $A$ по прямой траектория ортоцентра — коника (во многих типичных случаев — парабола). Доказательство получено прямой подстановкой и исключением параметра.
- Для вписанного: подстановка $v=ku+b$ в выражение $I=\frac{aA+bB+cC}{a+b+c}$ приводит к уравнению, содержащему корни вида $\sqrt{(u\pm c{)}^2+(ku+b{)}^2}$. После устранения корней обычно получается алгебраическая кривая более высокого порядка (типично кубика или кривая 4-го порядка). Таким образом общий вид траектории $I$ — сложная алгебраическая кривая (обычно не коника).
4) Случай: $A$ движется по окружности $\Gamma$ Пусть $\Gamma :u^2+(v-s{)}^2=r^2$ (центр на оси $Oy$). Тогда из формулы для $t$ $$t=\frac{2sv+(r^2-s^2)-c^2}{2v}=s+\frac{r^2-s^2-c^2}{2v},$$ т. е. $t$ выражается через $1/v$. Значит:
- Описанный центр $O=(0,t)$ пробегает некоторый отрезок/дугу на прямой $x=0$ — это множество центров окружностей, проходящих через $B,C$ и имеющих пересечения с $\Gamma$. Граница этого множества соответствует центрам окружностей, проходящих через $B,C$ и касающихся $\Gamma$.
- Ортоцентр: подстановка в $H=(u,v-2t)$ даёт параметризацию $H(u)=(u,v-2t(v))$ с условием $u^2+(v-s{)}^2=r^2$. После исключения параметра получаем квадратическое (т. е. коническое) уравнение для $H$. Следовательно в общем случае ортоцентр снова описывает конику (для специальных симметрий — окружность, эллипс или парабола).
Частный простой случай: если центр $\Gamma$ совпадает с серединой $M$ отрезка $BC$ (т. е. $s=0$), то $u^2+v^2=r^2$ и из формулы получается простая параметризация, дающая в результате снова окружность (гомотетия/сдвиг); поэтому при этой симметрии $H$ движется по окружности.
- Вписанный $I$ зависит от длин сторон (см. формулу в п.1). Для $A$ на окружности уравнение траектории $I$ опять будет алгебраическим, общего случая порядка ≥3; в специальных симметричных случаях (напр., если окружность $\Gamma$ располагается особым образом относительно $B,C$) может получиться коника или окружность.
5) Выводы и правила «на практике»
- Описанный центр всегда движется по перпендикулярному биссектору стороны, содержащей две фиксированные вершины; поэтому его траектория — подмножество этой прямой (точки, соответствующие центрам окружностей через фиксированные $B,C$ пересекающих исходную линию/окружность).
- Ортоцентр связан с $A$ и $O$ линейно ($H=A+B+C-2O$); как следствие, при движении $A$ по прямой или по окружности траектория $H$ — коника (в общем положении). В частных симметричных случаях — парабола, окружность и т. п.
- Вписанный центр зависит от длин сторон и потому описывает более сложную алгебраическую кривую; общая степень обычно ≥3, но в специальных конфигурациях тоже может стать коникой или окружностью.
Если нужно, могу:
- привести полные выводы (полное исключение параметра и явные уравнения коник) для конкретного числового примера (задать $c,k,b$ или конкретную окружность $\Gamma$), или
- вывести уравнение траектории для $I$ в конкретном частном случае.