Кратко: общая хорда двух пересекающихся кругов — это их линия пересечения (прямолинейный отрезок), геометрически задаётся радикальной осью. Ниже сравнение трёх подходов: чисто геометрическое построение, аналитическое в координатах и векторный метод.
1) Чисто геометрическое (рулетка и циркуль)
- Суть: построить точки пересечения кругов напрямую (пересечение двух окружностей) или построить радикальную ось как геометрическое место точек равной мощности (например, построив две вспомогательные окружности или используя теорему о пересечении хорд).
- Ключевая конструкция (описательно): возводят перпендикуляр к линии центров в точке, отстоящей от центров на соответствующие длины, либо непосредственно строят пересечения двух окружностей.
- Преимущества:
- Интуитивно и наглядно; не требует координат.
- Подходит для задач с инструментами «рука‑в‑руке» (чертёж, классические доказательства).
- Хорошо для олимпиадных геометрических рассуждений и ограниченных условий.
- Недостатки:
- Ограниченная точность (зависит от исполнения чертежа).
- Трудно автоматизировать или обобщать (несколько случаев, сложные положения).
- Менее удобен для получения явных числовых формул или для анализа зависимости от параметров.
2) Аналитический метод в координатах
- Суть: задать окружности уравнениями $(x-x_1{)}^2+(y-y_1{)}^2=r_1^2$ и $(x-x_2{)}^2+(y-y_2{)}^2=r_2^2$, вычесть одно уравнение из другого — получится линейное уравнение радикальной оси:
$$2(x_2-x_1)x+2(y_2-y_1)y=x_2^2+y_2^2-x_1^2-y_1^2+r_1^2-r_2^2.$$ Можно затем найти точки пересечения этой прямой с одной из окружностей; для координат точек пересечения полезны выражения через расстояние $d=|C_1{C}_2|$,
$${\ell }_1=\frac{d^2+r_1^2-r_2^2}{2d},h=\sqrt{r_1^2-{\ell }_1^2},$$ и тогда, выбрав систему с осью вдоль $C_1{C}_2$, точки:
$$P=(x_m,y_m)\pm h\cdot {\mathbf{u}}_{\perp },$$ где ${\mathbf{u}}_{\perp }$ — единичный вектор, перпендикулярный линии центров.
- Преимущества:
- Даёт точные явные формулы; легко вычислить численно.
- Хорошо для программирования, символьных вычислений и анализа зависимости параметров.
- Универсален: любые положения легко обработать (например, совпадение центров, касание).
- Недостатки:
- Требует выбора системы координат и алгебраических преобразований.
- Возможны численные проблемы (катастрофическая потеря точности при близких значениях, деление на маленькое $d$).
- Менее нагляден геометрически (формулы «скрывают» интуицию).
3) Векторный метод (координатно‑независимый)
- Суть: представить центры как векторы ${\mathbf{c}}_1,{\mathbf{c}}_2$ и точки как $\mathbf{x}$. Условие равенства мощностей:
$$|\mathbf{x}-{\mathbf{c}}_1{|}^2-r_1^2=|\mathbf{x}-{\mathbf{c}}_2{|}^2-r_2^2.$$ Это приводится к линейному уравнению
$$({\mathbf{c}}_2-{\mathbf{c}}_1)\cdot \mathbf{x}=\frac{|{\mathbf{c}}_2{|}^2-|{\mathbf{c}}_1{|}^2+r_1^2-r_2^2}{2}.$$ Дальше применяют проекции на направление $\mathbf{u}=({\mathbf{c}}_2-{\mathbf{c}}_1)/d$ и получают те же величины ${\ell }_1$ и $h$ и точки пересечения в векторной форме:
$$\mathbf{m}={\mathbf{c}}_1+{\ell }_1\mathbf{u},\mathbf{p}=\mathbf{m}\pm h{\mathbf{u}}_{\perp }.$$ - Преимущества:
- Комбинирует наглядность и алгебраическую краткость; координатно‑независимая запись.
- Логично обобщается на пространства большей размерности (сферы) и на алгоритмы линейной алгебры.
- Часто компактнее и чище, чем развёрнутые координатные вычисления.
- Недостатки:
- Требует привычки к векторной нотации и операции скалярного/векторного произведения.
- При численных вычислениях те же проблемы со стабильностью, что и в координатном подходе.
- Для чисто «рукотворных» построений менее применим, чем циркуль/линейка.
Короткое практическое руководство по выбору:
- Нужен реальный чертёж/доказательство в классической геометрии — чисто геометрическое построение.
- Нужны численные координаты, программная реализация или аналитические формулы — аналитический метод.
- Нужны компактные, координатно‑независимые рассуждения, обобщения в линейной алгебре или в n‑мерии — векторный метод.
Вывод: все три метода эквивалентны по информации (дают радикальную ось и точки пересечения), выбор определяется требованиями к наглядности, удобству вычислений и обобщаемости.