Пусть $l_1,l_2$ — две данные прямые, и для точки $P$ обозначим обычные (неориентированные) перпендикулярные расстояния до них $d_1,d_2$. Требуется геометр. место точек, для которых
$$\frac{d_1}{d_2}=k,k\ge 0.$$
1) Общая ситуация: прямые пересекаются в точке $O$.
Пусть угол между ними $\theta$ и угол луча $OP$ с $l_1$ равен $\alpha$. Тогда
$$d_1=r\sin \alpha ,d_2=r\sin (\theta -\alpha ),$$ где $r=|OP|$. Условие даёт
$$\frac{\sin \alpha }{\sin (\theta -\alpha )}=k.$$ Преобразуя, имеем
$$\tan \alpha =\frac{k\sin \theta }{1+k\cos \theta }.$$ Значение $\alpha$ фиксировано (модуль $\pi$), следовательно геометр. место — две прямые, проходящие через $O$, образующие с $l_1$ углы $\alpha$ и $\alpha +\pi$ (то есть одна двухсторонняя прямая; в итоге получаем два различных прямых-луча, дающих в сумме две прямые через $O$). Для специальных случаев:
- $k=1$: $\tan \alpha =\tan (\theta /2)$, получаем два биссектора углов (внутренний и внешний).
- $k=0$: $d_1=0$ — множество = прямая $l_1$.
- $k\to \infty$: множество стремится к $l_2$.
Если прямые совпадают, то для $k=1$ множество — вся плоскость (за исключением точки на прямой, где формула $0/0$ не определена); для $k\ne 1$ решений нет.
2) Случай параллельных прямых. Пусть $l_1:x=0,l_2:x=h>0$. Для точки с абсциссой $x$ имеем $|x|=k|x-h|$. Решая по случаям, получаем (при $k\ne 1$) два уровня абсциссы
$$x=\frac{kh}{1+k}\text{и}x=\frac{kh}{k-1},$$ т.е. геометр. место — две прямые, параллельные данным. При $k=1$ единственная серединная прямая
$$x=\frac{h}{2}.$$ Специальные ситуации: для $k=0$ получаем $x=0$ (прямая $l_1$), при $k\to \infty$ — $x=h$ (прямая $l_2$).
3) Короткие замечания:
- Мы рассматривали обычные (модульные) расстояния; если использовать ориентированные расстояния (со знаком), формулы меняются, и, в частности, для пересекающихся прямых условие $\frac{d_1}{d_2}=1$ даёт по одному биссектору (внутреннему или внешнему) в зависимости от выбора знаков.
- Для всех случаев ответ — либо пара прямых, либо одна прямая, либо отсутствие решений (линии совпадают и $k\ne 1$), либо тривиальные случаи $k=0,\infty$ (соответственно одна из данных прямых).