Определение. Инверсия относительно окружности с центром $O$ и радиусом $R$ переводит точку $P\ne O$ в точку $P^{\prime }$ на луче $OP$ так, что
$$OP\cdot O{P}^{\prime }=R^2.$$ В координатном виде (при $O$ в начале координат) для вектора $x$ образом является
$$x^{\prime }=\frac{R^2}{\Vert x{\Vert }^2}x.$$
Ключевые свойства (кратко)
- Инверсия конформна: сохраняет углы между кривыми (с ориентацией меняется).
- Образы прямых и окружностей — снова прямые или окружности (включая бесконечность).
Как именно преобразуются прямые и окружности (критерии и формулы)
1) Прямая $L$.
- Если $L$ проходит через центр инверсии $O$, то её образ — та же прямая $L$ (как множество), точки меняются по формуле инверсии ( $O$ отправляется в бесконечность).
- Если $L$ не проходит через $O$, то её образ — окружность, проходящая через $O$. Если расстояние от $O$ до линии равно $d$, то образ — окружность с центром на перпендикуляре к $L$ на расстоянии
$$\frac{R^2}{2d}$$ от $O$ и радиусом
$$\frac{R^2}{2d}.$$ (Т.е. диаметр образа равен $\frac{R^2}{d}$.)
Пример: прямая $y=c$ ( $c\ne 0$ ) при инверсии с центром в начале координат и радиусом $R$ даёт окружность
$$x^2+(y-\frac{R^2}{2c}{)}^2=(\frac{R^2}{2c}{)}^2,$$ которая проходит через $O$.
2) Окружность $S$ с центром $C$, радиусом $r$, где $a=OC$.
- Если $a\ne r$ (окружность не проходит через $O$), то образ — снова окружность. Центр $C^{\prime }$ лежит на луче $OC$ и
$$O{C}^{\prime }=\frac{R^{2}a}{a^2-r^2},r^{\prime }=\frac{R^{2}r}{|a^2-r^2|}.$$ - Если $a=r$ (то есть $S$ проходит через $O$), то образ $S^{\prime }$ — прямая, не проходящая через $O$.
Короткие доказательства (интуитивно)
- Для линии: точки на прямой не через $O$ после инверсии оказываются на окружности, так как при параметризации точки $P$ и их образов $P^{\prime }$ выполняется уравнение окружности, проходящей через $O$.
- Для окружности: использован векторный вид $x^{\prime }=\frac{R^2}{\Vert x{\Vert }^2}x$ и алгебраическая подстановка в уравнение окружности даёт либо уравнение окружности (если $a\ne r$), либо вырожденное в уравнение прямой (если $a=r$).
Практические применения (коротко, с примерами)
- Упрощение задач о касательных: инверсией можно превратить проблему о касательных между окружностями в задачу о касательных между прямыми и окружностями (или между прямыми), что значительно проще строить и анализировать. Пример: нахождение окружностей, касающихся трёх данных окружностей (задача Апполония) часто упрощается инверсией, которая превращает одну из данных окружностей в прямую.
- Геометрические доказательства: инверсия превращает сложные конфигурации в более простые, часто раскрывая симметрии (например, доказательство свойств систем коаксиальных окружностей).
- Физика и уравнения: метод отражений/инверсий в задачах электростатики (метод изображений) — границы, заданные окружностями/плоскостями, переводятся в более простые границы, сохраняющие гармоничность функций.
- Сохранение ортогональности: окружности, ортогональные данной окружности инверсии, инвариантны; это удобно при построении ортогональных семей.
Краткое резюме критериев
- Прямая → окружность тогда и только тогда, когда прямая не содержит центра инверсии (при этом получаем окружность, проходящую через центр).
- Окружность → прямая тогда и только тогда, когда окружность проходит через центр инверсии.
- В остальных случаях окружность переводится в окружность.
Если нужно, могу привести пошаговый разбор конкретной задачи (преобразование заданной линии/окружности или решение задачи Апполония через инверсию).