Короткий ответ: прямого аналога формулы Пика в пространстве не существует: объём трёхмерного целочисленного многогранника не выражается однозначно линейной формулой через число внутренних $I$ и граничных $B$ решётчатых точек. Ниже — необходимые пояснения, точные соотношения и оценки.
1) Контрпример (Reeve). Пусть тетраэдр
$$T_k=\mathrm{conv}\{(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,k)\}.$$ Тогда $B=4$, $I=0$, но объём
$$V=\mathrm{Vol}(T_k)=\frac{k}{6}$$ может быть сколь угодно большим при росте $k$. Это показывает, что формулы вида $V=\alpha I+\beta B+\gamma$ не могут быть верны.
2) Теория Эрхарта (основная структурная информация). Для любого целочисленного многогранника $P\subset {\mathbb{R}}^3$ функция
$$L_P(t)=\#(tP\cap {\mathbb{Z}}^3)$$ для целых $t\ge 0$ является многочленом степени $3$:
$$L_P(t)=a{t}^3+b{t}^2+ct+1,$$ где $a=\mathrm{Vol}(P)$ (обычный евклидов объём в нормировке, при которой единичный куб объём 1). Эрхартова взаимность даёт
$$L_P(-1)=-\#(\mathrm{int}(P)\cap {\mathbb{Z}}^3)=-I.$$ Из двух равенств $L_P(1)=I+B$ и $L_P(-1)=-I$ получаем точные алгебраические соотношения для коэффициентов:
$$a+b+c+1=I+B,$$ $$-a+b-c+1=-I.$$ Отсюда следует
$$2b+2=B⟹b=\frac{B-2}{2},$$ и
$$a+c=I+\frac{B}{2}⟹c=I+\frac{B}{2}-a.$$ Эти соотношения показывают, что второй коэффициент ( $b$ ) полностью определяется числом граничных точек $B$, а объём $a$ связан с $I,B$ через третий коэффициент $c$, который зависит от более тонкой геометрии (ребра, углы и т.д.). Поэтому одной лишь парой $(I,B)$ объём не фиксируется.
3) Геометрическая интерпретация и применение 2D-Пика на гранях. Каждая грань (плоский многоугольник) — решётчатый многоугольник; для неё действует формула Пика (в локальной 2D-решётке грани):
$${\mathrm{Area}}_{\text{facet}}=I_f+\frac{B_f}{2}-1,$$ где $I_f,B_f$ — внутренние и граничные точки грани в её собственной решётке. Суммирование площадей граней (с учётом нормировки по подрешётке каждой грани) даёт информацию о $b$, а затем по Эрхарту — о $B$. Но сведения о рёбрах и «вложенности» решётки на гранях влияют на $c$ и, следовательно, на $a$.
4) Оценки и общие свойства.
- Невозможность простой формулы: пример Reeve показывает, что при $I=0$ объём неограничен.
- Однако для фиксированного положительного числа внутренних точек объём ограничен сверху: существует функция $F_3(I)$ (зависящая только от $I$ и размерности), такая что для любого трёхмерного решётчатого многогранника с данным $I$ выполняется
$$\mathrm{Vol}(P)\le F_3(I).$$ (Это результат типа Hensley — для фиксированного числа внутренних точек число классов многогранников по аффинным целочисленным преобразованиям конечно, следовательно объём ограничен.)
- Обратной общей нижней грани в терминах только $I,B$ нет; объём может быть сколь угодно мал (множество малых многогранников) или большим (Reeve).
5) Практический вывод / рекомендации.
- Для точного вычисления связи между объёмом и решётчатыми точками нужно находить эрхартов многочлен $L_P(t)$; ведущий коэффициент даёт объём.
- Для получения $b$ достаточно $B$: $b=(B-2)/2$. Для восстановления объёма требуется дополнительная информация (например, данные о рёбрах, нормированных длинах, структуре фасетных решёток), поскольку вся «нагрузка» неоднозначности уходит в коэффициент $c$.
- При анализе конкретных семейств многогранников полезно строить примеры типа Reeve для отрицательных/положительных выводов и использовать триангуляцию на простейшие решётчатые симплексы (унитарные/неунитарные) для явного подсчёта коэффициентов Эрхарта.
Кратко: нет простого трёхмерного аналога Пика; корректный инструмент — эрхартова теория (многочлен $L_P(t)$) и анализ граней/рёбер; Reeve-тетраэдры демонстрируют неустранимую неоднозначность объёма по данным только $I$ и $B$.