Обозначения и общий метод.
Пусть плоская фигура — область $D\subset {\mathbb{R}}^2$, задана ось $L$ (прямая). Для точки $(x,y)\in D$ обозначим расстояние до оси $s=s(x,y)$. Плотность в точке равна $\rho (s)$. Тогда масса и координаты центра тяжести даются стандартными формулами:
$$M={\iint }_D\rho (s)dA,\bar{x}=\frac{1}{M}{\iint }_{D}x\rho (s)dA,\bar{y}=\frac{1}{M}{\iint }_{D}y\rho (s)dA.$$
Удобный выбор координат. Возьмём координаты $(u,v)$, где $u$ — (ориентированная) координата в направлении, перпендикулярном оси $L$ (так что $s=|u|$), а $v$ — вдоль оси $L$. Тогда $dA=dudv$ и формулы упрощаются:
$$M={\iint }_{D_{uv}}\rho (|u|)dudv,\bar{u}=\frac{1}{M}{\iint }_{D_{uv}}u\rho (|u|)dudv,\bar{v}=\frac{1}{M}{\iint }_{D_{uv}}v\rho (|u|)dudv.$$ Особенно просто: если область симметрична относительно оси $L$ (симметрия по $u\mapsto -u$), то интеграл для $\bar{u}$ равен нул и центр тяжести лежит на $L$:
$$\bar{u}=0\text{при симметрии по}u.$$
Пример в привычной системе (ось $L$ — ось $y$, значит $s=|x|$). Тогда
$$M={\iint }_D\rho (|x|)dA,\bar{x}=\frac{1}{M}{\iint }_{D}x\rho (|x|)dA,\bar{y}=\frac{1}{M}{\iint }_{D}y\rho (|x|)dA.$$
Как положение центра меняется при изменении $\rho$. Для малой измены плотности $\rho \mapsto \rho +\delta \rho$ вариация координаты центра $\bar{x}$ выражается как
$$\delta \bar{x}=\frac{1}{M}{\iint }_{D}x\delta \rho dA-\frac{\bar{x}}{M}{\iint }_D\delta \rho dA=\frac{1}{M}{\iint }_D(x-\bar{x})\delta \rho dA.$$ Аналогично для $\delta \bar{y}$. Отсюда видно качественно: если плотность увеличивается в тех точках, где $x>\bar{x}$, то $\bar{x}$ сместится вправо; если в точках с $x<\bar{x}$, то влево. То есть центр тяжести сдвигается в сторону областей, где относительная плотность возросла.
Коротко о свойствах:
- Если $\rho$ зависит только от расстояния до оси и область симметрична относительно этой оси, центр остаётся на оси независимо от конкретного вида $\rho$.
- В общем случае изменение функции $\rho (s)$ изменяет веса точек на разных расстояниях от оси и смещает центр в сторону зон с большим весом; сдвиг рассчитывается формулой вариации выше.
- При аналитических задачах удобно перейти к координатам $(u,v)$ и выполнить интегрирование по $u$ и $v$ отдельно, если границы области позволяют.