Идея и общий ход рассуждения.
Возьмём две прямые $L_1,L_2$ в пространстве. Для точки $X$ обозначим $d_i=d(X,L_i)$ — расстояние от $X$ до $L_i$. Пусть $A\in L_1,B\in L_2$ — основания перпендикуляров из $X$ на соответствующие прямые (т.е. $d_1=|XA|,d_2=|XB|$). Тогда по неравенству треугольника
$$|AB|\le |AX|+|XB|=d_1+d_2.$$ Если положить
$$\Delta =\underset{A\in L_1,B\in L_2}{\inf }|AB|,$$ то для любой точки $X$ имеем
$$d(X,L_1)+d(X,L_2)\ge \Delta .$$ Получаем, что минимальное возможное значение суммы равно $\Delta$, а характер точек, на которых достигается минимум, определяется случаем равенства в неравенстве треугольника: равенство выполняется тогда и только тогда, когда $A$ и $B$ — точки, дающие минимальное расстояние между прямыми, и точка $X$ лежит на отрезке $AB$.
Различные конфигурации прямых.
1) Общая формулировка:
- Минимум суммы равен расстоянию между прямыми: ${\min }_X(d(X,L_1)+d(X,L_2))=\Delta$.
- Множество точек, где достигается минимум, — ровно все точки отрезка(ов) соединяющих точки $A\in L_1$ и $B\in L_2$, для которых $|AB|=\Delta$.
2) Пересекающиеся прямые ($L_1\cap L_2=\{O\}$):
- Здесь $\Delta =0$. Минимум $=0$ достигается только в точке пересечения:
$$\{X:d(X,L_1)+d(X,L_2)=0\}=\{O\}.$$
3) Параллельные прямые (расстояние между ними $h>0$):
- Все кратчайшие сегменты между прямыми перпендикулярны им и лежат в единственной плоскости, содержащей обе прямые. Для точки этой плоскости с координатой по нормали $y$ имеем (в удобных координатах)
$$d(X,L_1)=|y|,d(X,L_2)=|y-h|,$$ поэтому
$$d(X,L_1)+d(X,L_2)=|y|+|y-h|\ge h,$$ и равенство достигается при $y\in [0,h]$. Следовательно множество точек минимума — это весь замкнутый полосовой участок плоскости, содержащий все точки между прямыми (в пространстве — этот полосовой участок вдоль направления прямых): все точки плоскости, лежащие между прямыми (включая границы).
4) Невзаимно пересекающиеся (скрещивающиеся, «скью») прямые:
- Существует единственный общий перпендикуляр, его концы $A\in L_1,B\in L_2$ дают $\Delta =|AB|>0$. Множество точек минимума — ровно закрытый отрезок $AB$. Для любой точки $X$ вне этого отрезка сумма строго больше $\Delta$.
Дополнение (выделенные частные случаи):
- Если $L_1=L_2$, то $\Delta =0$, минимум $=0$ достигается на всей прямой.
Короткие примеры в координатах.
A) Параллельные: в плоскости $z=0$ пусть $L_1=\{(x,0,0)\}$, $L_2=\{(x,h,0)\}$. Тогда для $X=(x,y,0)$ $$d(X,L_1)=|y|,d(X,L_2)=|y-h|,d(X,L_1)+d(X,L_2)\ge h,$$ равенство при $y\in [0,h]$ (полоска между прямыми).
B) Пересекающиеся: пусть $L_1$ — ось $x$, $L_2$ — ось $y$ в плоскости $z=0$, пересечение в $O=(0,0,0)$. Тогда минимум $0$ и достигается только при $X=O$.
Итого: метод — опираться на неравенство треугольника через основания перпендикуляров; минимум равен расстоянию между прямыми, а множество точек минимума — все точки отрезков, реализующих это минимальное расстояние (в зависимости от положения прямых это точка, отрезок или полоска).