Пусть даны углы $\alpha$ и $\gamma$ в вершинах $A$ и $C$ и длина медианы из вершины между ними (то есть из $B$) равная $m$. Обозначим стороны классически: $a=BC,b=AC,c=AB$, угол в $B$ равен $B=\pi -\alpha -\gamma$.
1) Формула и вывод единственности/существования.
Медиана из $B$ удовлетворяет
$$m^2=\frac{1}{2}(a^2+c^2)-\frac{1}{4}{b}^2.$$ По теореме синусов $a=k\sin \alpha ,b=k\sin B,c=k\sin \gamma$ для некоторого положительного масштабирующего множителя $k$. Подставляя в формулу медианы, получаем
$$m=k\cdot S,S=\frac{1}{2}\sqrt{2{\sin }^2\alpha +2{\sin }^2\gamma -{\sin }^{2}B}.$$ Отсюда
$$k=\frac{m}{S},$$ при условии что $S>0$. Если $\alpha +\gamma \ge \pi$ — треугольник невозможен (угол $B\le 0$). Если $S\le 0$ и при этом задано $m>0$, решения не существует. При $S>0$ значение $k$ однозначно, следовательно однозначно определяются все стороны
$$a=k\sin \alpha ,b=k\sin B,c=k\sin \gamma ,$$ и треугольник существует и единственен с точностью до конгруэнтности.
(Специальный случай: если $S=0$ и $m=0$, это вырожденный случай; для положительного $m$ этот случай невозможен.)
2) Алгоритм построения (чертёж циркулем и линейкой / пошагово с вычислениями длины):
а) Проверьте $B=\pi -\alpha -\gamma >0$. Вычислите $S=\frac{1}{2}\sqrt{2{\sin }^2\alpha +2{\sin }^2\gamma -{\sin }^{2}B}$. Если $S\le 0$ и $m>0$ — решения нет.
б) Найдите масштабный множитель
$$k=\frac{m}{S}.$$
в) Вычислите стороны
$$a=k\sin \alpha ,b=k\sin B,c=k\sin \gamma .$$
г) Постройте отрезок $AC$ длины $b$. В вершине $A$ от отрезка $AC$ постройте луч под углом $\alpha$ внутрь полуплоскости треугольника. В вершине $C$ от отрезка $CA$ постройте луч под углом $\gamma$. Пересечение этих лучей — точка $B$. Получится треугольник $ABC$ с заданными углами и медианой из $B$.
(При необходимости все арифметические операции с синусами, суммами и корнями можно выполнить геометрически: взять произвольный эталонный отрезок, построить на нём отрезки, равные $\sin \alpha ,\sin \gamma ,\sin B$ через прямоугольные треугольники, затем построить выражение под корнем, извлечь квадратный корень и умножить/разделить на $m$ — всё это делается стандартными средствами циркуля и линейки.)
Итого: при $\alpha +\gamma <\pi$ и при положительном
$$S=\frac{1}{2}\sqrt{2{\sin }^2\alpha +2{\sin }^2\gamma -{\sin }^2(\alpha +\gamma )}>0$$ существует единственный (до конгруэнтности) треугольник с заданными $\alpha ,\gamma$ и медианой $m$; при нарушении этого условия решений нет.