Рассмотрим правильный тетраэдр с ребром $a$. Пусть вершины — $A,B,C,D$, а центр (совпадающие центры масс/описанной/вписанной окружности) — $O$. Возьмём произвольную пару вершин, например $A$ и $B$; в тетраэдре любая пара вершин соединена ребром, так что плоскость, проходящая через $A,B,O$, содержит ребро $AB$.
1) Геометрическая форма сечения.
- Эта плоскость пересекает противоположное ребро $CD$ в его середине $M$. Доказательство простое в векторной форме: для центра $O$ правильного тетраэдра $A+B+C+D=0$, отсюда $-\frac{1}{2}(A+B)=\frac{1}{2}(C+D)=$ координата середины $M$, и $-\frac{1}{2}(A+B)$ принадлежит линейной оболочке $⟨A,B⟩$. Следовательно сечение — треугольник $△ABM$.
- Итак: любая плоскость через центр и две вершины даёт треугольное сечение (не четырёхугольник).
2) Длины сторон и другие метрики (в терминах ребра $a$).
- База: $AB=a$.
- Длины боковых сторон (от вершины $A$ или $B$ до середины противоп. ребра):
$$AM=BM=\frac{\sqrt{3}}{2}a.$$ (Можно получить масштабированием стандартной координатной модели; также видно из свойств правильного тетраэдра.)
- Высота треугольника из вершины $M$ на $AB$:
$$h=\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)}^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=\frac{a}{\sqrt{2}}}.$$ - Площадь сечения:
$$S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot h=\frac{a^2}{2\sqrt{2}}.$$ - Углы треугольника:
- угол при вершине $M$:
$$\angle AMB=\arccos \frac{1}{3}\approx 70.53^{\circ };$$ - базовые углы при $A$ и $B$ (равны):
$$\angle BAM=\angle ABM=\arccos \frac{1}{\sqrt{3}}\approx 54.74^{\circ }.$$ (Эти значения можно получить через скалярные произведения в симметричной координатной модели или по теореме косинусов.)
3) Положение центра относительно сечения.
- Точка $O$ лежит внутри треугольника $ABM$. В барицентрических координатах по вершинам $(A,B,M)$ она имеет веса $(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{2})$, т.е. $O=\frac{1}{4}A+\frac{1}{4}B+\frac{1}{2}M$.
4) Когда сечение бывает правильным треугольником или ромбом?
- Правильным (равносторонним) треугольником: невозможно. Для равенства сторон требуется $a=\frac{\sqrt{3}}{2}a$, что невозможно для $a>0$. Значит ни одно из рассматриваемых сечений не является равносторонним.
- Ромбом (четырёхугольник со всеми сторонами равны): невозможно, потому что плоскость через две вершины всегда содержит ребро тетраэдра, а пересечение в этом случае — треугольник (см. п.1), а не четырёхугольник. Следовательно среди сечений, проходящих через центр и две вершины, нет ромбов.
Кратко: любое сечение через центр и две вершины правильного тетраэдра — равнобедренный треугольник $△ABM$ с боковыми сторонами $\frac{\sqrt{3}}{2}a$, основанием $a$, углами $\arccos \frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\arccos \frac{1}{3}$; ни одно такое сечение не равностороннее и не является ромбом.