Кратко — общая идея. Пусть заданы две окружности $S_1=(O_1,R_1)$ и $S_2=(O_2,R_2)$. Гомотетия с центром $X$ переводит $S_1$ в $S_2$. Всегда существуют две центры подобия (центры внешней и внутренней гомотетии), за исключением вырожденных случаев (см. ниже). Далее — методы и формулы.
1) Аналитический вывод (векторная/координатная форма)
- Если гомотетия с коэффициентом $k$ переводит $O_1$ в $O_2$, то
$$O_2-X=k(O_1-X).$$ Отсюда
$$X=\frac{k{O}_1-O_2}{k-1}.$$ В координатах $O_i=(x_i,y_i)$:
$$X=(\frac{k{x}_1-x_2}{k-1},\frac{k{y}_1-y_2}{k-1}).$$
- Для преобразования окружности достаточно, чтобы радиусы соответствовали: для внешней гомотетии $k_e=\frac{R_2}{R_1}$, для внутренней гомотетии $k_i=-\frac{R_2}{R_1}$. Подставляя эти $k$ получаем явные центры:
Внешний центр
$$X_{ext}=\frac{R_1{O}_2-R_2{O}_1}{R_1-R_2}.$$
Внутренний центр
$$X_{int}=\frac{R_1{O}_2+R_2{O}_1}{R_1+R_2}.$$
(Здесь суммы/разности понимаются по координатам; формулы эквивалентны предыдущей при $k=\pm R_2/R_1$.)
2) Геометрические конструкции / интерпретации
- Центры гомотетии лежат на прямой $O_1{O}_2$.
- Внешний центр — пересечение внешних общих касательных кругов; внутренний — пересечение внутренних общих касательных.
- Деление отрезка $O_1{O}_2$: внутренний центр делит отрезок внутренне в отношении $O_{1}X:X{O}_2=R_1:R_2$; внешний центр делит отрезок внешне в том же отношении (формулы выше дают знаки).
- Если известна пара соответствующих точек $A\in S_1$, $A^{\prime }\in S_2$, то центр $X$ — пересечение прямых $A{A}^{\prime }$ и $O_1{O}_2$; коэффициент $k=\frac{X{A}^{\prime }}{XA}$ (с учётом знака).
3) Если заданы уравнения окружностей
- Из уравнений извлечь центры и радиусы, затем применить формулы п.1.
4) Частные и вырожденные случаи
- $O_1=O_2$ и $R_1\ne R_2$: все центры совпадают в бесконечности вдоль любого направления — нет конечного центра гомотетии (оси параллельны).
- $R_1=R_2$ и $O_1\ne O_2$: внутренний центр $X_{int}=\frac{O_1+O_2}{2}$ (середина), внешний центр на бесконечности (касательные параллельны).
- $R_1=R_2$ и $O_1=O_2$: совпадающие окружности — бесконечно много гомотетий (тождественное преобразование и повторы).
5) Практические рецепты по наборам данных
- Даны $O_1,O_2,R_1,R_2$: сразу использовать формулы $X_{int},X_{ext}$ и $k=\pm R_2/R_1$.
- Даны уравнения окружностей: извлечь $O_i,R_i$ и как выше.
- Даны одна пара соответствующих точек $A\leftrightarrow A^{\prime }$: найти $X=A{A}^{\prime }\cap O_1{O}_2$, затем $k=X{A}^{\prime }/XA$.
- Даны две общие касательные (их уравнения): их пересечение даёт центр гомотетии; по расположению касательных определяют внутреннюю/внешнюю.
6) Проверка (численно)
- Если найден $X$, проверка: векторное соотношение $O_2-X=k(O_1-X)$ и соответствие радиусов $R_2=|k|R_1$.
Эти формулы и методы покрывают все стандартные варианты нахождения центра гомотетии и коэффициента по разным данным.