Зададим декартову систему координат так, чтобы прямоугольный параллелепипед имел вершины в точках $(0,0,0)$ и $(a,b,c)$ (рёбра вдоль осей). Возьмём вершину $O=(0,0,0)$. Три грани, не содержащие $O$, имеют центры
$$C_x=(a,\frac{b}{2},\frac{c}{2}),C_y=(\frac{a}{2},b,\frac{c}{2}),C_z=(\frac{a}{2},\frac{b}{2},c).$$ Соответствующие векторы от $O$ к центрам:
$${\mathbf{v}}_x=(a,\frac{b}{2},\frac{c}{2}),{\mathbf{v}}_y=(\frac{a}{2},b,\frac{c}{2}),{\mathbf{v}}_z=(\frac{a}{2},\frac{b}{2},c).$$
Длины этих отрезков (три типа):
$$L_x=|{\mathbf{v}}_x|=\sqrt{a^2+\frac{b^2}{4}+\frac{c^2}{4}},L_y=\sqrt{\frac{a^2}{4}+b^2+\frac{c^2}{4}},L_z=\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}+c^2}.$$
Скалярные произведения и косинусы углов между ними:
$${\mathbf{v}}_x\cdot {\mathbf{v}}_y=\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}+\frac{c^2}{4},{\mathbf{v}}_x\cdot {\mathbf{v}}_z=\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{4}+\frac{c^2}{2},$$ $${\mathbf{v}}_y\cdot {\mathbf{v}}_z=\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{2}+\frac{c^2}{2}.$$ Соответственно,
$$\cos \angle ({\mathbf{v}}_x,{\mathbf{v}}_y)=\frac{\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}+\frac{c^2}{4}}{L_x{L}_y},$$ и аналогично для пар $({\mathbf{v}}_x,{\mathbf{v}}_z)$ и $({\mathbf{v}}_y,{\mathbf{v}}_z)$ путём перестановки $a,b,c$.
Свойства и симметрии:
- Для любой вершины формулы одинаковы (все вершины эквивалентны перестановками и сдвигом); у противоположной вершины $(a,b,c)$ векторы к соответствующим «противоположным» центрам равны $-{\mathbf{v}}_x,-{\mathbf{v}}_y,-{\mathbf{v}}_z$ (центральная симметрия через центр параллелепипеда).
- Во всём параллелепипеде есть ровно три направления (класса векторов) — те, что соответствуют центрам граней, перпендикулярным осям $x,y,z$. Все отрезки одного класса параллельны (или антипараллельны).
- При перестановке размеров $a,b,c$ соответствующие длины и углы перемешиваются (симметрия по перестановке осей).
- Частный случай куба: $a=b=c=s$. Тогда $L_x=L_y=L_z=s\sqrt{3/2}$ и для любых двух векторов
$$\cos \theta =\frac{5}{6}\Rightarrow \theta =\arccos \frac{5}{6}\approx 33.56^{\circ }.$$
Краткое резюме: есть три длины $L_x,L_y,L_z$ (цикл. по $a,b,c$) и три соответствующих угла между ними, выражающиеся формулами выше; глобальные симметрии — центральная симметрия и перестановки осей (перестановки $a,b,c$), в кубическом случае все длины и углы совпадают.