Кратко: равенство диагоналей само по себе не даёт параллелограмма (контрпример — равнобочная трапеция). Необходимое и достаточное условие параллелограмма — диагонали пересекаются и взаимно делятся пополам. Дополнительно: среди параллелограммов равенство диагоналей эквивалентно прямоугольности.
Доказательства и примеры.
1) Контрпример (равнобочная трапеция). Возьмём точки
$A=(0,0),B=(4,0),D=(1,1),C=(3,1)$. Тогда $AB\parallel CD$ и
$$|AC|=\sqrt{(3-0{)}^2+(1-0{)}^2}=\sqrt{10},|BD|=\sqrt{(4-1{)}^2+(0-1{)}^2}=\sqrt{10},$$ и потому $AC=BD$, но параллельность только одной пары сторон делает фигуру не параллелограммом. Следовательно, равенство диагоналей не достаточно.
2) Необходимое и достаточное условие параллелограмма.
Теорема. Четырёхугольник $ABCD$ является параллелограммом тогда и только тогда, когда диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ и при этом
$$OA=OC\text{и}OB=OD$$ (то есть диагонали делят друг друга пополам).
Доказательство. (=>) В параллелограмме диагонали всегда точкой пересечения делятся пополам — классическое свойство (по параллельным сторонам соответствующие треугольники равны).
(<=) Пусть $O$ — общая середина диагоналей. Тогда в треугольниках $AOB$ и $COD$ имеем $OA=OC,OB=OD$ и угол при $O$ общий, поэтому треугольники равны, откуда $AB\parallel CD$. Аналогично из равенства треугольников $AOD$ и $COB$ следует $AD\parallel BC$. Итак, обе пары противолежащих сторон попарно параллельны, значит $ABCD$ — параллелограмм.
Замечание: эта формулировка даёт необходимое и достаточное условие в чисто геометрической форме: равенство диагоналей + дополнительное требование «они пересекаются и делятся пополам» эквивалентно параллелограмму. Часто условие «делятся пополам» формулируют отдельно, потому что само по себе оно уже равноценно параллелограмму.
3) Частный случай (внутри класса параллелограммов).
Теорема. Если $ABCD$ — параллелограмм и $AC=BD$, то $ABCD$ — прямоугольник.
Доказательство (векторный). Пусть стороны заданы векторами $u=AB,v=AD$. Диагонали — это $u+v$ и $u-v$. Равенство длин даёт
$$|u+v{|}^2=|u-v{|}^2\Rightarrow (u+v)\cdot (u+v)=(u-v)\cdot (u-v),$$ откуда $4u\cdot v=0$, т.е. $u\perp v$. Следовательно, смежные стороны перпендикулярны — параллелограмм прямоугольный.
4) Дополнительные замечания и частные случаи.
- Равнобочная трапеция: диагонали равны, но не пересекаются в общих серединах → не параллелограмм. Приведённый в п.1 пример демонстрирует это.
- Ромб: диагонали взаимно перпендикулярны, но обычно не равны; равенство диагоналей у ромба возможно лишь для квадрата (совпадает с п.3).
- Самопересекающийся (звёздный) четырёхугольник: формулировки о «делении пополам» требуют уточнения для самопересечений; стандартный критерий параллелограмма применяется к выпуклым/обычным четырёхугольникам.
Итого: необходимое и достаточное чисто геометрическое условие для того, чтобы четырёхугольник с равными диагоналями был параллелограммом — кроме равенства диагоналей должно выполняться, что эти диагонали пересекаются и делятся друг другом пополам (или эквивалентно — их середины совпадают).