Сделаю при явном допущении: речь об ортогональной (параллельной) проекции правильного тетраэдра на некоторую плоскость Π. (Если имелась в виду перспектива из точки — отмечу это по запросу.)
1) Условие получения правильного (равностороннего) треугольника.
- Пусть три вершины тетраэдра лежат в некоторой плоскости S (это любая тройка вершин — грани тетраэдра). Ортогональная проекция треугольника из S на Π есть аффинное преобразование трёхугольника, которое сохраняет формы (углы и отношения сторон) тогда и только тогда, когда S параллельна Π. Формально: при угле между нормалями $\theta$ соответствующая сингулярная величина проекции равна $\cos \theta$; чтобы все три стороны масштабирвались одинаково, нужно $\cos \theta =1$, т.е. $\theta =0$.
- Следовательно: ортогональная проекция правильного тетраэдра даёт правильный треугольник тогда и только тогда, когда плоскость проекции Π параллельна одной из граней тетраэдра (эквивалентно: направление проекции перпендикулярно плоскости этой грани, или параллельно высоте тетраэдра к этой грани). Для регулярного тетраэдра таких направлений ровно четыре (по одной на каждую грань, с обоих направлений по антиподе).
Короткая схема доказательства необходимости: пусть проекция грани $ABC$ на Π — правильный треугольник. Ограничение ортопроекции на плоскость $S$ грани является линейным отображением с собственными коэффициентами $1$ и $\cos \theta$; чтобы образ равностороннего треугольника тоже был равносторонним, нужен одинаковый масштаб по любым направлениям в $S$, значит $\cos \theta =1$.
2) Классификация возможных типов проекций (ортогональных).
Образ выпуклой оболочки четырёх вершин — выпуклый многоугольник в плоскости. Возможны следующие типы (упорядоченно по «общности»):
- Невырожденный выпуклый четырёхугольник (обычный случай при общем направлении проекции). Четыре проекции вершин лежат на границе выпуклой оболочки: образ — четырёхугольник произвольного вида (с центром масс в образе центра тетраэдра).
- Треугольник (одна вершина проецируется внутрь треугольника, образ трёх других вершин на границе). Подклассы:
a) Правильный треугольник: как сказано выше — эквивалентно Π || одной из граней (4 семейства направлений).
b) Невравносторонний треугольник (разветвлённые случаи): когда Π не параллельна ни одной грани, но направление проекции таково, что проекция одной вершины попадает в выпуклую оболочку трёх остальных. В общем это может быть любой невырожденный треугольник (обычно скалярный; при симметричных направлениях получается изосцелевый).
c) Частный случай: два исходных вершины проецируются в одну точку (направление проекции параллельно ребру) — тогда образ может быть треугольником (две вершины совпадают) или отрезком, см. далее.
- Отрезок (две пары вершин попарно «накладываются»): возможно при направлении проекции, параллельном двум разным ребрам так, что проекции объединяют вершины в два совпадающих набора; это вырожденный случай (мера ноль в множестве направлений).
- Точка (вырожденный крайний случай): направление проекции совпадает с любой линией, делающей все вершины коллинеарными и проектирующей их в одну точку — практически возможно только при тривиальных вырожденных ситуациях (в обычном правильном тетраэдре это не происходит при ортопроекции, если только не рассматривают предельные вырожденные случаи).
Особые симметричные случаи:
- Если направление проекции лежит в плоскости симметрии тетраэдра, возможны изображения с дополнительными симметриями (напр., образ — равнобедренный треугольник). Набор направлений, дающих изосцелевую проекцию, образует несколько мер-ноль геометрических подмножеств (плоскостей/великолепий) на сфере направлений.
Итого: для ортопроекции единственные направления дающие правильный треугольник — те, которые перпендикулярны одной из граней (четыре антиподных направления). В общем же образ бывает либо невырожденным четырёхугольником (общий случай), либо треугольником (если одна вершина проецируется внутрь треугольника других), с частными вырожденными случаями (совпадение проекций вершин, отрезок и т.д.).