Обозначим данное: задан отрезок $BC$ (точки $B,C$ известны), дан угол при вершине $A$ — величина $\alpha$, и дана медиана $BM$ (из вершины $B$) длины $m$ (то есть $M$ — середина $AC$, $BM=m$). Требуется построить треугольник $ABC$.
Построение (коротко по шагам):
1. Постройте точку $C^{\prime }$ — отражение $C$ относительно $B$. То есть на прямой $BC$ отложите от $B$ в обратную сторону от $C$ отрезок $B{C}^{\prime }$ равный $BC$. Тогда $C^{\prime }=2B-C$.
2. Постройте окружность $S$ с центром в $C^{\prime }$ и радиусом $2m$. (Отложите на луче от $C^{\prime }$ длину $2m$.)
3. Найдите середину $N$ отрезка $BC$ и постройте перпендикуляр к $BC$ через $N$.
4. Постройте окружность(и) $L$ через точки $B$ и $C$ такую(ие), что для любой точки $A$ на этой окружности справедливо $\angle BAC=\alpha$. Для этого найдите центр $O$ на перпендикуляре через $N$ на расстоянии
$$ON=\frac{|BC|}{2}\cot \alpha ,$$ от $N$ в одну или другую сторону; радиус этой окружности равен
$$R=\frac{|BC|}{2\sin \alpha }.$$ (Обе величины конструктивно получаются из даного отрезка $BC$ и угла $\alpha$.)
5. Пересечения окружности(ей) $L$ с окружностью $S$ дают возможные положения точки $A$. Выберите полученное пересечение(я) $A$.
6. Для каждого найденного $A$ постройте треугольник $ABC$. Точка $M$ — середина $AC$ (постройте её) и проверьте $BM=m$.
Обоснование корректности (кратко):
- Так как $M$ — середина $AC$, то $A$ — отражение $C$ относительно $M$, т.е. $A=2M-C$. Условие $BM=m$ эквивалентно $|B-M|=m$. Подставляя $M=(A+C)/2$, получаем
$$|B-\frac{A+C}{2}|=m⟺|2B-A-C|=2m⟺|A-(2B-C)|=2m.$$ То есть $A$ лежит на окружности радиуса $2m$ с центром $C^{\prime }=2B-C$ (это окружность $S$).
- Условие $\angle BAC=\alpha$ эквивалентно тому, что $A$ лежит на окружности $L$, проходящей через $B$ и $C$ и дающей вписанный угол $\alpha$ на хорде $BC$. Центр этой окружности лежит на перпендикуляре к $BC$ через середину $N$ и удовлетворяет $R=\frac{|BC|}{2\sin \alpha }$, откуда $ON=\frac{|BC|}{2}\cot \alpha$.
- Значит искомые точки $A$ — ровно пересечения двух конструктивно построенных окружностей $S$ и $L$. Каждое такое пересечение дает треугольник $ABC$ с требуемыми данными; все решения получаются таким образом.
Замечания:
- Возможны не более двух решений (в зависимости от относного положения окружностей и выбора стороны для центра $O$).
- Построение корректно при условии, что радиусы, расстояния и углы дают пересечение (иначе решений нет).