Обозначим диагонали $AC=p$, $BD=q$; точку пересечения $O$ и их части $AO=x$, $CO=p-x$, $BO=y$, $DO=q-y$. Угол между диагоналями $\angle AOB=\angle COD=\angle BOC=\angle DOA=60^{\circ }$.
Основные формулы для площадей четырёх треугольников:
$$S_{AOB}=\frac{1}{2}AO\cdot BO\sin 60=\frac{1}{2}xy\sin 60,S_{BOC}=\frac{1}{2}BO\cdot CO\sin 60=\frac{1}{2}y(p-x)\sin 60,$$ $$S_{COD}=\frac{1}{2}CO\cdot DO\sin 60=\frac{1}{2}(p-x)(q-y)\sin 60,S_{DOA}=\frac{1}{2}DO\cdot AO\sin 60=\frac{1}{2}(q-y)x\sin 60.$$
Следствия и соотношения:
- Общий множитель $\frac{1}{2}\sin 60$ даёт пропорциональность:
$$S_{AOB}:S_{BOC}:S_{COD}:S_{DOA}=xy:y(p-x):(p-x)(q-y):(q-y)x.$$ - Отношения соседних площадей выражаются через части диагоналей:
$$\frac{S_{AOB}}{S_{BOC}}=\frac{AO}{CO},\frac{S_{AOB}}{S_{DOA}}=\frac{BO}{DO},$$ и т.д.
- Равенство произведений площадей противоположных треугольников (независимо от угла):
$$S_{AOB}\cdot S_{COD}=S_{BOC}\cdot S_{DOA}.$$ - Сумма всех площадей равна площади четырёхугольника, выражаемая диагоналями:
$$S_{tot}=S_{AOB}+S_{BOC}+S_{COD}+S_{DOA}=\frac{1}{2}AC\cdot BD\sin 60=\frac{1}{2}pq\sin 60.$$ (так как $\sin 60=\frac{\sqrt{3}}{2}$, можно подставить численное значение при необходимости).
Дополнительные геометрические свойства и частные случаи:
- Все четыре площади равны тогда и только тогда, когда $AO=CO$ и $BO=DO$ (точка $O$ — середина обеих диагоналей) — это ровно условие параллелограмма (угол между диагоналями может быть $60^{\circ }$).
- Равенства двух соседних площадей, например $S_{AOB}=S_{BOC}$, эквивалентны $AO=CO$ (точка $O$ — середина $AC$); аналогично для других пар.
- Если, например, $AO=BO$, то треугольник $AOB$ равносторонний (поскольку угол при $O$ равен $60^{\circ }$), что даёт дополнительные длиновые равенства и ограничения на форму четырёхугольника.
- Сам факт угла между диагоналями $60^{\circ }$ сам по себе не делает четырёхугольник циклическим или ромбом; для таких дополнительных свойств нужны дополнительные равенства/условия (например, бисектрисы, равенство частей диагоналей и т.п.).
Кратко: площади четырех треугольников пропорциональны произведениям пар смежных частей диагоналей, их сумма равна $\frac{1}{2}AC\cdot BD\sin 60$, а всегда верно равенство произведений площадей противоположных треугольников; частные симметрии (равенства площадей) эквивалентны соответствующим равенствам частей диагоналей и приводят к параллелограмму/киту и т.п.