Теорема. Для любого невырожденного треугольника с радиусом описанной окружности $R$ и радиусом вписанной окружности $r$ выполняется
$$R\ge 2r,$$ и равенство достигается тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний.
Дам два натуральных доказательства (одно «аналитико‑алгебраическое» простое и короткое, другое — используя формулу Эйлера для расстояния центров окружностей), затем кратко обсужу подходы.
1) Аналитико‑алгебраическое доказательство (через $R=\frac{abc}{4S}$, $r=\frac{S}{s}$ и замену $x=s-a$ и т.д.)
Обозначим стороны $a,b,c$, полупериметр $s=\frac{a+b+c}{2}$, площадь $S$. Из известных формул
$$R=\frac{abc}{4S},r=\frac{S}{s}.$$ Следовательно
$$\frac{R}{r}=\frac{abc}{4S}\cdot \frac{s}{S}=\frac{abc}{4(s-a)(s-b)(s-c)}.$$ Положим $x=s-a,y=s-b,z=s-c$ (тогда $x,y,z>0$ и $a=y+z,b=z+x,c=x+y$). Тогда
$$\frac{R}{r}=\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{4xyz}.$$ По неравенству арифмет.-геометр. (для каждой из троек)
$$x+y\ge 2\sqrt{xy},y+z\ge 2\sqrt{yz},z+x\ge 2\sqrt{zx},$$ умножая получаем
$$(x+y)(y+z)(z+x)\ge 8xyz.$$ Отсюда
$$\frac{R}{r}\ge \frac{8xyz}{4xyz}=2,$$ т.е. $R\ge 2r$. Равенство при $x=y=z$, что эквивалентно $a=b=c$ (равносторонний треугольник).
2) Доказательство через формулу Эйлера для расстояния центров окружностей
Утверждение более сильное: если $O$ — центр описанной окружности, $I$ — центр вписанной, то справедливо
$$O{I}^2=R(R-2r).$$ Так как правая часть неотрицательна, получаем $R(R-2r)\ge 0$ и поэтому $R\ge 2r$ (при $R>0$). Равенство $R=2r$ эквивалентно $OI=0$, т.е. $O\equiv I$ — треугольник равносторонний.
Краткое получение формулы (векторно/координатно или с помощью мощности точки). Один стандартный маршрут:
- Поставим $O$ в начало координат и представим вершины через векторы $A,B,C$ длины $R$.
- Вектор инцентра можно записать как взвешенную сумму вершин с коэффициентами, пропорциональными противоположным сторонам:
$$\mathbf{I}=\frac{a\mathbf{A}+b\mathbf{B}+c\mathbf{C}}{a+b+c}.$$ - После алгебраических преобразований (используя $a=|\mathbf{B}-\mathbf{C}|$ и соотношения вида законов косинусов для сокращения скалярных произведений) получается
$$|\mathbf{I}{|}^2=R^2-2Rr,$$ т.е. $O{I}^2=R(R-2r)$. (Технически вычисление сводится к использованию соотношений между сторонами, площадью и радиусами; подробное разложение — стандартно в литературе по планиметрии.)
Альтернативно формула выводится геометрически через мощность инцентра относительно описанной окружности: если из вершины $A$ биссектриса пересекает окружность во второй точке $A^{\prime }$, то, пользуясь длинами $AI=\frac{r}{\sin (A/2)}$ и $A{A}^{\prime }=2R\cos (A/2)$ и правильной учётом знаков, после симметричных тождеств для всех вершин получают указанное выражение.
Обсуждение подходов
- Аналитико‑алгебраический (через $R,r,S$, замену $x=s-a$ и AM–GM): очень короткий, чисто алгебраический, не требует углублённой геометрической интуиции. Хорош для быстрого доказательства неравенства и определения случая равенства. Минус: даёт меньше интуиции о «почему» соотношение связано с положением центров окружностей.
- Подход через формулу Эйлера $O{I}^2=R(R-2r)$ (синтетико‑геометрический или координатный): сильнее — даёт точную связь между расстоянием центров и радиусами, объясняет геометрический смысл случая равенства и позволяет решать более тонкие задачи (например, оценивать $OI$). Синтетическое получение этой формулы (через мощность точки, гомотетии, свойства биссектрис) даёт хорошее геометрическое понимание; координатное/векторное получение — более «механическое», но даёт прямой расчёт.
Вывод: короткое алгебраическое доказательство через $x,y,z$ и AM–GM — самый экономный путь к неравенству $R\ge 2r$. Формула Эйлера даёт более глубокое объяснение и сильный инструмент — она является предпочтительной, когда нужно изучать взаимное расположение центров и точные значения расстояний.