Коротко и по существу.
Обозначим плоскости уравнениями ${\Pi }_i:{\mathbf{n}}_i\cdot \mathbf{x}=d_i$, $i=1,2,3$. Расстояние от точки $\mathbf{x}$ до ${\Pi }_i$ равно $\frac{|{\mathbf{n}}_i\cdot \mathbf{x}-d_i|}{\Vert {\mathbf{n}}_i\Vert }$. Требуется множество точек, для которых эти три величины равны.
1) Все три плоскости попарно параллельны (то есть действительно «не пересекаются»). Тогда нормали совпадают ${\mathbf{n}}_1\parallel {\mathbf{n}}_2\parallel {\mathbf{n}}_3$ и условие сводится к одномерному: для $t=\mathbf{n}\cdot \mathbf{x}$ нужно
$$|t-c_1|=|t-c_2|=|t-c_3|,$$ где $c_i=d_i/\Vert \mathbf{n}\Vert$. Для трёх разных чисел $c_i$ такое равенство не выполняется. Итого: множество пусто.
2) Ни одна пара не параллельна (три плоскости пересекаются в одной точке $P$). Для каждой пары $(i,j)$ множество точек, равноудалённых от ${\Pi }_i$ и ${\Pi }_j$, это две биссектрисные плоскости:
$$\frac{{\mathbf{n}}_i\cdot \mathbf{x}-d_i}{\Vert {\mathbf{n}}_i\Vert }=\pm \frac{{\mathbf{n}}_j\cdot \mathbf{x}-d_j}{\Vert {\mathbf{n}}_j\Vert }.$$ Пересечение двух таких выбранных биссекторных плоскостей (для пар $(1,2)$ и $(1,3)$) даёт прямую через общую точку $P={\Pi }_1\cap {\Pi }_2\cap {\Pi }_3$. В результате множество точек, равноудалённых от всех трёх, — объединение до четырёх прямых (соответствующих четырём сочетаниям знаков) проходящих через $P$. В частных случаях некоторые из этих прямых могут совпадать или отсутствовать.
3) Смешанные случаи (одна пара параллельна, другая нет): пусть ${\Pi }_1\parallel {\Pi }_2$. Тогда множество равноудалённых от ${\Pi }_1$ и ${\Pi }_2$ — средняя плоскость
$$\mathbf{n}\cdot \mathbf{x}=\frac{d_1+d_2}{2}.$$ Пересечение этой средней плоскости с одной из биссектрис между ${\Pi }_1$ и ${\Pi }_3$ даёт прямую (или пусто, в зависимости от положений). Итого в этом случае множество — нуль, одна или две прямые (зависит от выбора знаков).
Вывод: в общем положении (нет параллельных пар) геометрическое место — совокупность прямых, проходящих через общую точку пересечения трёх плоскостей (до 4 прямых); в случае трёх попарно параллельных плоскостей — пусто; в промежуточных случаях — пересечения средней плоскости параллельной пары с биссектрисами, обычно прямые или пусто.