Зададим функцию суммы расстояний
$$f(P)=PA+PB+PC$$ для точки $P$ внутри (или на границе) треугольника $ABC$. Итоговые результаты и методы доказательства.
1) Максимум.
- Утверждение: на замкнутом выпуклом множестве (треугольнике) выпуклая функция достигает своего максимума в экстремальных точках. Поскольку для фиксированной вершины $X$ функция $P\mapsto PX$ выпукла, их сумма $f(P)$ тоже выпукла. Следовательно максимум достигается на вершинах треугольника. Таким образом максимум равен
$$\max \{AB+AC,BA+BC,CA+CB\},$$ и никаких строгих внутренних максимумов не бывает (строго внутри нет максимума).
- Короткий элементарный аргумент: если $P$ лежит внутри, можно рассмотреть выпуклую комбинацию вершин, и применить выпуклость/неравенство треугольника, чтобы показать, что сдвиг к вершине не уменьшает сумму расстояний.
2) Минимум (Ферма — Торричелли).
- Два случая:
a) Если одна из углов треугольника, например $\angle A$, не меньше $120^{\circ }$, то функция $f$ достигает минимума в этой вершине $A$. (Интуиция: смещение внутрь уменьшает расстояние к двум вершинам, но увеличивает к вершине с углом $\ge 120^{\circ }$ сильнее, сумма растёт.)
b) Если все углы треугольника строго меньше $120^{\circ }$, то существует уникальная внутренняя точка $F$ (точка Ферма), для которой
$$\angle AFB=\angle BFC=\angle CFA=120^{\circ },$$ и именно в ней $f(P)$ минимальна.
- Методы доказательства минимальности и конструкции точки Ферма:
1. Геометрическая конструкция через поворот/отражение (классический доказательный приём):
- Поверните треугольник вокруг одной из вершин на $60^{\circ }$. Например, поворотом на $60^{\circ }$ вокруг $A$ точка $B$ перейдёт в точку $B^{\prime }$. Для произвольного $P$ длины связаны так, что минимизация $PA+PB+PC$ сводится к минимизации длины отрезка между двух образованных точек; оптимум достигается, когда три луча $PA,PB,PC$ образуют углы $120^{\circ }$. Это даёт и конструкцию: пересечение соответствующих прямых (или построение внешних равносторонних треугольников и соединение их вершин) даёт точку $F$.
2. Вариационный/векторный подход (условие стационарности):
- Для точки минимума векторная сумма направленных единичных векторов равна нулю:
$$\frac{PA}{PA}+\frac{PB}{PB}+\frac{PC}{PC}=0.$$ Это равенство эквивалентно тому, что между любыми двумя лучами из $F$ к вершинам угол равен $120^{\circ }$.
3. Аналитический/численный подход:
- Можно выбрать координаты и минимизировать $f(x,y)=\sqrt{(x-x_A{)}^2+(y-y_A{)}^2}+\dots$ методом стохастических или градиентных методов; стационарная точка даёт то же условие с единичными векторами и углами $120^{\circ }$.
4. Доказательство в случае угла $\ge 120^{\circ }$:
- Показывают, что в этой ситуации любая внутренняя точка даёт большую или равную сумму по сравнению с соответствующей вершиной (есть короткие доказательства через неравенство треугольника при суммировании неравенств в двух смежных треугольниках или через исследование направления изменения $f$ от вершины в сторону внутреннего пункта).
Замечания:
- Точка Ферма уникальна при всех углах < $120^{\circ }$.
- Для практической постройки: на сторонах $AB,BC,CA$ строят наружу равносторонние треугольники и соединяют их вершины с противоположными вершинами исходного треугольника; три такие прямые пересекаются в точке Ферма.
Кратко: максимум (по замкнутому треугольнику) достигается на вершинах (нет внутреннего максимума). Минимум либо в вершине с углом $\ge 120^{\circ }$, либо — при всех углах < $120^{\circ }$ — в единственной внутренней точке Ферма, где углы между лучами к вершинам равны $120^{\circ }$; доказательства дают поворот/отражение, векторное условие стационарности и аналитическая минимизация.