Пусть заданы точки $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$ и переменная точка $P(x,y)$. Условие
$$P{A}^2-P{B}^2=k$$ записывается как
$$(x-x_1{)}^2+(y-y_1{)}^2-(x-x_2{)}^2-(y-y_2{)}^2=k.$$ После сокращения членов квадратичных по $x,y$ получаем линейное уравнение
$$2(x_2-x_1)x+2(y_2-y_1)y+(x_1^2+y_1^2-x_2^2-y_2^2)=k,$$ или в упрощённом виде
$$(x_2-x_1)x+(y_2-y_1)y=\frac{k+x_2^2+y_2^2-x_1^2-y_1^2}{2}.$$
Следовательно, при $A\ne B$ геометрическое место точек — прямая, перпендикулярная отрезку $AB$. В векторной форме:
$$(B-A)\cdot r=\frac{k+|B{|}^2-|A{|}^2}{2},$$ где $r$ — радиус-вектор точки $P$.
Пусть $M=(A+B)/2$ — середина $AB$ и $u=(B-A)/|B-A|$. Тогда прямая проходит на ориентированном расстоянии
$$s=\frac{k}{2|B-A|}$$ от точки $M$ в направлении $u$ (модуля $s$ достаточно для обычного расстояния). В частности, при $k=0$ получаем серединный перпендикуляр к $AB$.
Особые случаи: если $A=B$, то при $k=0$ множество — вся плоскость, при $k\ne 0$ — пусто.