Предположим, что дан угoл $\angle BAC$ (если у вас указан $\angle AOB$, то везде подставьте его). Требуется на луче $XY$ с вершиной в $X$ построить луч $XZ$, чтобы
$$\angle YXZ=2\angle BAC.$$
Построение (все построения компасом и линейкой):
1. На вершине $A$ данного угла с произвольным радиусом проведите дугу, пересекающую лучи $AB$ и $AC$ в точках $P$ и $Q$.
2. Тем же радиусом проведите дугу с центром в $X$, она пересечёт луч $XY$ в точке $M$.
3. Измерьте расстояние $PQ$ и, отложив его на дуге с центром $X$ от точки $M$, получите точку $N$ (то есть на дуге найдите точку $N$ такую, что $MN=PQ$).
4. Проведите луч $XN$. Тогда
$$\angle YXN=\angle BAC.$$ (это стандартное построение переноса угла).
5. Теперь повторите копирование: так же, как в пунктах 2–4, перенесите угол $\angle BAC$ с опорой на луч $XN$: проведите дугу с центром $X$ (того же радиуса), отметьте на ней точку $N^{\prime }$ на луче $XN$, отложите на дуге от $N^{\prime }$ отрезок, равный $PQ$, получите точку $Z$ и проведите луч $XZ$. Тогда
$$\angle ZXN=\angle BAC.$$
6. В итоге
$$\angle YXZ=\angle YXN+\angle NXZ=\angle BAC+\angle BAC=2\angle BAC.$$
Готово: луч $XZ$ даёт требуемый угол.