Кратко: точки $M,N$ на гипотенузе $AB$ с условием $CM=CN$ — это пересечения отрезка $AB$ с окружностью центра $C$ и некоторого радиуса $r$. Варианты и свойства описаны ниже.
1) Координатный вывод (быстро): положим $C=(0,0),A=(a,0),B=(0,b)$. Любая точка на $AB$ имеет параметр $s\in [0,1]$:
$$X(s)=(a(1-s),bs),C{X}^2=a^2(1-s{)}^2+b^2{s}^2.$$ Функция $f(s)=C{X}^2=(a^2+b^2)s^2-2a^{2}s+a^2$ — квадрат расстояния. Если $s_1\ne s_2$ и $f(s_1)=f(s_2)$, то их сумма равна оси симметрии параболы:
$$s_1+s_2=\frac{2a^2}{a^2+b^2}.$$ Точка с параметром $s_0=\frac{a^2}{a^2+b^2}$ — середина этих параметров; её координаты
$$H=(\frac{a{b}^2}{a^2+b^2},\frac{a^{2}b}{a^2+b^2})$$ — это проекция $C$ на $AB$. Расстояние от $C$ до $AB$:
$$CH=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}.$$
2) Геометрический смысл и случаи:
- M,N — пересечения $AB$ с окружностью радиуса $r=CM=CN$ и центром $C$.
- Если $r<CH$ — пересечений нет.
- Если $r=CH$ — касание: $M=N=H$.
- Если $r>CH$ — два различных пересечения $M,N$. При этом $CH$ перпендикулярна $AB$ и является перпендикулярным биссектрисой хорды $MN$: $H$ — середина $MN$, $HM=HN=\sqrt{r^2-C{H}^2}$.
- Особые случаи: если $r=CA=a$ (или $r=CB=b$), то одна из точек совпадает с $A$ (или $B$). Если $a=b$ (равнобедренный прямой треугольник) то $H$ — середина $AB$ и при $r=a=b$ получаем $M=A,N=B$.
3) Доп. свойства, связанные с мощностью и окружностями:
- Длина хорды:
$$MN=2\sqrt{r^2-C{H}^2}=2\sqrt{r^2-\frac{a^2{b}^2}{a^2+b^2}}.$$ - Мощность точки $A$ относительно этой окружности:
$$AM\cdot AN=A{C}^2-r^2=a^2-r^2,$$ аналогично $BM\cdot BN=b^2-r^2$.
- Треугольник $CMN$ имеет центр описанной окружности в точке $C$ (т.е. $C$ — центр окружности через $M,N$ и $C$ само собой), а $MN$ — его основание, перпендикулярно $CH$.
Это полностью описывает все возможные положения $M,N$ и связанные с этим свойства вписанных/описанных окружностей.