Пусть скрещивающиеся прямые заданы векторно $L_1:A+su$, $L_2:B+tv$, где $u,v$ — единичные направления ($u\nparallel v$), а расстояние между ними по общему перпендикуляру равно $d>0$. Множество точек $X$ с равными расстояниями до прямых задаётся условием
$${\mathrm{dist}}^2(X,L_1)={\mathrm{dist}}^2(X,L_2).$$ Для точки $X$ формула расстояния до прямой даёт
$${\mathrm{dist}}^2(X,L_i)=|X-A_i{|}^2-((X-A_i)\cdot u_i{)}^2,$$ где $A_1=A,u_1=u;A_2=B,u_2=v$. Отсюда условие равенства расстояний разворачивается в квадратичное уравнение по координатам $X$, т.е. искомое множество является квадрикой (поверхностью второго порядка).
Упростим и классифицируем квадрику. Поставим начало в середине наикратчайшего отрезка между прямыми и ось $x$ вдоль этого общего перпендикуляра (тогда $A=(d/2,0,0),B=(-d/2,0,0)$, и компоненты $u,v$ по оси $x$ равны нулю). Обозначим $X=(x,y,z)$, $r=(y,z)$, $u_{\perp }=(u_1,u_2)$, $v_{\perp }=(v_1,v_2)$. Подстановка даёт
$$(x-\frac{d}{2}{)}^2+|r{|}^2-(u_{\perp }\cdot r{)}^2=(x+\frac{d}{2}{)}^2+|r{|}^2-(v_{\perp }\cdot r{)}^2,$$ откуда после упрощения
$$2dx=(u_{\perp }\cdot r{)}^2-(v_{\perp }\cdot r{)}^2.$$ Это можно записать в матричной форме
$$x=\frac{1}{2d}{r}^T(u_{\perp }{u}_{\perp }^T-v_{\perp }{v}_{\perp }^T)r.$$ Итак поверхность задаётся как граф квадратичной формы по переменным $(y,z)$: $x=Q(y,z)$. Так как матрица $u_{\perp }{u}_{\perp }^T-v_{\perp }{v}_{\perp }^T$ имеет положительные и отрицательные собственные значения (в силу различия направлений $u$ и $v$), форма невырождена и знакопеременная, следовательно квадрика — гиперболический параболоид (saddle): невырожденная параболоидная поверхность второго порядка.
Геометрические свойства:
- поверхность является квадрикой типа «гиперболический параболоид» (седловая поверхность), то есть графом квадратичной формы $x=Q(y,z)$;
- она двулинейно правило (двойное правило): содержит две семейства прямых-образующих;
- симметрична относительно плоскости середины общего перпендикуляра (плоскость $x=0$); пересечение с этой плоскостью даёт две пересекающиеся прямые, задаваемые условием $(u_{\perp }\cdot r{)}^2=(v_{\perp }\cdot r{)}^2$, или эквивалентно $(u_{\perp }\pm v_{\perp })\cdot r=0$ (это — биссектрисы проекций направлений $u$ и $v$ в поперечной плоскости);
- сечение плоскостями $x=$ const даёт либо пара (при $x=0$) прямых, либо гиперболы/эллипсы (в зависимости от уровня), что согласуется с седловым характером поверхности.
Вывод: множество точек, равноудалённых от двух скрещивающихся прямых, — невырожденная квадрика, конкретно гиперболический параболоид (двойная семейство прямых-образующих), симметричная относительно средней плоскости между прямыми.