Критерии выбора между евклидовой и неевклидовой моделями и их обоснование:
1. Масштаб задачи (характерный размер области L)
- Оценка кривизны через гауссову кривизну $K$ или радиус кривизны $R$ (для сферы $K=1/R^2$). Универсальный безразмерный параметр: $\epsilon \sim K{L}^2$.
- Правило: если $\epsilon \ll 1$ — локальная евклидова аппроксимация адекватна; если $\epsilon \gtrsim$ допустимая точность — нужна неевклидова модель.
- Для сферического приближения конкретная оценка погрешности длины пути: для дуги длиной $s$ и радиуса $R$ разность между дугой и хордой примерно $\Delta \approx \frac{s^3}{24R^2}$, относительная ошибка $\frac{\Delta }{s}\approx \frac{s^2}{24R^2}$. Пример: для Земли $R\approx 6.37\times 10^6$ м, при $s=100$ км относительная ошибка $\sim 10^{-5}$, при $s=1000$ км — $\sim 10^{-3}$.
2. Требуемая точность (порог допустимой ошибки $\delta$)
- Подставьте в условие $\frac{s^2}{24R^2}<\delta$ (для сферического случая) или $K{L}^2<\delta$ в общем виде.
- Если измерения/приложение требуют точности лучше, чем внесёт евклидова аппроксимация, выбирают риманову/эллипсоидную модель.
3. Тип решаемой задачи (что нужно моделировать: расстояния, углы, площади, траектории света/сигналов, время)
- Для простых горизонтальных карт и кратких маршрутов достаточно плоской проекции.
- Для глобальных маршрутов/геодезии/точных вычислений геодезических линий — модель эллипсоида/сфероид (риманова поверхность).
- Для расчёта времени передачи сигналов и синхронизации (GNSS, VLBI) необходимы релятивистские поправки (пространство-время, общая и специальная теория относительности).
4. Изменчивость кривизны и неоднородность среды
- Если кривизна существенно меняется в области (геоид, локальные горы, неоднородный гравитационный потенциал), требуется модель с вариабельной метрикой; плоская аппроксимация даёт локально неприемлемые искажения.
5. Сложность и вычислительные ограничения
- Евклидова модель проще, быстрее, требует простых проекций (например, локальная тангенциальная плоскость, UTM для зон до ~600 – 800 км).
- Неевклидовые модели требуют интегрирования уравнений геодезических, работы с метрическим тензором и преобразованиями координат — более тяжёлая вычислительная аппаратура, но современные библиотеки это покрывают.
6. Наличие эталонов и систем отсчёта (геодезические датумы)
- Практическая геодезия использует референсный эллипсоид и геоид; выбор модели диктуется стандартами (WGS84, ITRF) и требованиями совместимости данных.
7. Физические эффекты помимо геометрии
- Для навигации с высокими требованиями к времени/частоте учитывать релятивистские поправки (сдвиг частоты спутниковых часов ~$10^{-10}$).
- Для лучей света в сильных грав. полях — искривление траекторий (требуется пространство-время).
Практическая процедура выбора (шаги)
1. Оцените характерный размер $L$ и ожидаемую кривизну $K$ (или $R$).
2. Вычислите $\epsilon =K{L}^2$ (или для Земли относительную ошибку $\frac{L^2}{24R^2}$).
3. Сравните $\epsilon$ с допустимой относительной ошибкой $\delta$.
- Если $\epsilon \ll \delta$ — используйте евклидову модель (локальная плоскость, подходящая проекция).
- Иначе — применяйте неевклидову (риманову) модель: эллипсоид/геоид для геодезии, полная релятивистская модель для точного времени/сигналов.
4. Учитывайте дополнительные требования: совместимость с датумами, вычислительные ресурсы, наличие ПО и измерений.
Короткие эмпирические ориентиры (на примере Земли):
- L ≲ 10 км: евклидова плоскость обычно достаточно для практических задач.
- L ~ 100 км: евклидова модель часто приемлема для инженерных задач, но проверяйте требуемую точность.
- L ≳ 500–1000 км: использовать сфероид/эллипсоид; для глобальных задач — полная неевклидова модель.
- Для точной синхронизации времени, GPS‑уровней точности и астрофизики — использовать релятивистскую модель.
Вывод: выбирать по соотношению масштаба и допустимой ошибки через безразмерный параметр $\epsilon \sim K{L}^2$ (или $\frac{s^2}{24R^2}$ для сферы), с учётом целей (длины/углы/время), физических эффектов и практических ограничений.