Краткая цель: плавно перейти от планиметрической интуиции (касательная ⟂ радиусу) к аналитическим приемам (уравнения, условия касания) на одном примере.
1) Вводная связь (интуиция → координаты)
- Покажите геометрический факт: касательная в точке $P$ окружности перпендикулярна радиусу $OP$.
- Введите координаты центра $O(x_0,y_0)$, точек и уравнение окружности $(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=R^2$.
2) Четыре аналитических метода получения уравнения касательной (с пояснениями)
- По точке касания и перпендикулярности радиуса (векторный/дифференциальный подход):
- Если точка касания $P(x_1,y_1)$ лежит на окружности, то производная (наклон касательной) даёт
dydx∣P=−x1−x0y1−y0\displaystyle \frac{dy}{dx}\Big|_{P}=-\frac{x_1-x_0}{y_1-y_0}dxdy P =−y1 −y0 x1 −x0 .
- Уравнение касательной: $y-y_1=-\frac{x_1-x_0}{y_1-y_0}(x-x_1)$.
- Эквивалентная форма через скалярное произведение (линейное уравнение):
$(x_1-x_0)(x-x_0)+(y_1-y_0)(y-y_0)=R^2$.
- Через условие единственного пересечения (дискриминант):
- Для прямой $y=mx+b$ подставьте в уравнение окружности; получится квадратное уравнение по $x$. Касание ⇔ дискриминант $\Delta =0$. Это даёт связь между $m$ и $b$.
- Через расстояние от центра до прямой:
- Для прямой в виде $Ax+By+C=0$ условие касания:
$|A{x}_0+B{y}_0+C|=R\sqrt{A^2+B^2}$.
- Удобно для нахождения касательных с заданным наклоном или в общем виде.
- Через параметризацию:
- Параметризуйте точку $P$ (например, $(x_0+R\cos t,y_0+R\sin t)$) и получите уравнение касательной напрямую:
$(x_0+R\cos t-x_0)(x-x_0)+(y_0+R\sin t-y_0)(y-y_0)=R^2$,
что упрощается до $x\cos t+y\sin t=x_0\cos t+y_0\sin t+R$.
3) Методическая последовательность занятий
- Урок 1: повторение уравнения окружности и геометрического факта о перпендикулярности.
- Урок 2: аналитический вывод уравнения касательной через перпендикулярность (практика: найти касательные в заданных точках).
- Урок 3: метод дискриминанта и метод расстояния — доказать эквивалентность; упражнения: найти касательные с заданным наклоном/отрезком.
- Урок 4: параметрический подход и связь с тригонометрией; задачи на параметрический поиск всех касательных из внешней точки.
- Домашние задания: от простых (касательная в заданной точке) к средним (все касательные из внешней точки) и сложным (система окружностей, общие касательные).
4) Типичные ошибки и как их предотвратить
- Неверно подставляют центр (ошибки со знаком): прогоните пример с числовыми подстановками.
- Путают дискриминантный подход и расстояние — покажите их эквивалентность.
- Делают деление на ноль при вычислении наклона (обратить внимание на вертикальные касательные; использовать форму $Ax+By+C=0$).
5) Пример готового разбора (коротко)
- Дано: окружность $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=5$ и точка $P(3,-1)$ на ней.
- Центр $O(1,-2)$. Наклон касательной:
$m=-\frac{x_1-x_0}{y_1-y_0}=-\frac{3-1}{-1-(-2)}=-\frac{2}{1}=-2$.
- Уравнение: $y+1=-2(x-3)$, или $2x+y-5=0$.
6) Рекомендации по оценке и дальнейшему развитию
- Оценивать понимание через разные методы (попросить получить одно и то же уравнение тремя способами).
- Давать задания на преобразование геометрических условий в аналитические (например, «касательная проходит через заданную точку» → система уравнений).
Эта структура даёт студентам ясную траекторию: интуиция → разные аналитические приемы → проверка эквивалентности методов → практика и контроль ошибок.