Допущение: цилиндр прямой круглый с осью вдоль оси $z$: $x^2+y^2=R^2$ (неограничен по $z$). Семейство параллельных плоскостей задаётся общей нормалью $(a,b,c)$ и сдвигом: $ax+by+cz+d=0$ (параллельные пластины — меняется только $d$).
Классификация сечений.
1) Плоскость не параллельна оси цилиндра ($c\ne 0$).
Подстановка даёт
$$z=-\frac{ax+by+d}{c},$$ а точку пересечения можно параметризовать по окружности основания $x=R\cos t,y=R\sin t$, следовательно
$$(x,y,z)=(R\cos t,R\sin t,-\frac{aR\cos t+bR\sin t+d}{c}).$$ Это аффинный образ окружности в плоскости сечения, значит кривая замкнута и является эллипсом. Частный случай: если плоскость перпендикулярна оси ($a=b=0,c\ne 0$) — получается окружность радиуса $R$.
2) Плоскость параллельна оси ($c=0$, уравнение $ax+by+d=0$). Тогда в проекции на плоскость $xy$ пересечение — линия $ax+by+d=0$ и её пересечение с окружностью $x^2+y^2=R^2$ даёт 0, 1 или 2 точки. Каждая такой точке соответствует прямая, параллельная оси $z$. Поэтому пересечение:
- пусто, если линия не пересекает окружность;
- одна прямая (касание), если линия касательна окружности;
- две параллельные прямые (если линия пересекает окружность в двух точках).
Вывод по углам наклона. Пусть угол между плоскостью и осью цилиндра равен $\varphi$. Тогда
- если $\varphi =90^{\circ }$ (плоскость перпендикулярна оси) — круг;
- если $0<\varphi <90^{\circ }$ (плоскость не параллельна оси) — эллипс;
- если $\varphi =0$ (плоскость параллельна оси) — две параллельные прямые / одна прямая / пусто в зависимости от положения.
Замечание: параболы и гиперболы в сечениях прямого круглого цилиндра не возникают — они характерны для сечений конуса, а цилиндр даёт либо замкнутые эллипсы, либо (при плоскостях, содержащих направление образующих) набор прямых.