Пусть даны окружности с центрами $C_1(x_1,y_1)$, $C_2(x_2,y_2)$ и радиусами $r_1,r_2$, и прямая $L:ax+by+c=0$ с $\sqrt{a^2+b^2}=1$. Для искомой окружности с центром $X(x,y)$ и радиусом $R$ условия касания дают (для каждого выбора знаков касания $s_1,s_2\in \{+1,-1\}$)
$$\sqrt{(x-x_1{)}^2+(y-y_1{)}^2}=R+s_1{r}_1,\sqrt{(x-x_2{)}^2+(y-y_2{)}^2}=R+s_2{r}_2,$$ $$|ax+by+c|=R.$$
Исключая $R$ получаем две эквивалентные формы:
1) разность расстояний до центров:
$$\sqrt{(x-x_1{)}^2+(y-y_1{)}^2}-\sqrt{(x-x_2{)}^2+(y-y_2{)}^2}=s_1{r}_1-s_2{r}_2,$$ то есть $X$ лежит на гиперболе (или на прямой, если правая часть равна нулю) — это коника (второго порядка);
2) разность расстояния до точки и до прямой:
$$\sqrt{(x-x_i{)}^2+(y-y_i{)}^2}-|ax+by+c|=s_i{r}_i(i=1,2).$$ Возведя в квадрат (для фиксированного знака выражения $|ax+by+c|=\pm (ax+by+c)$) получаем уравнение второго порядка:
$$(x-x_i{)}^2+(y-y_i{)}^2=(ax+by+c{)}^2+2s_i{r}_i(ax+by+c)+r_i^2,$$ то есть каждая из этих кривых — коника (второго порядка).
Следовательно, множество центров — это пересечение двух коник (двух вторых степеней). По теореме Безу общее число пересечений (включая комплексные и кратные) не превосходит $4$. В общем положении реализаций касаний даёт до четырёх действительных решений; при вырожденных случаях (совпадение, симметрии и т. п.) возможны кратные или вырожденные кривые.