Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Например, в треугольнике $ABC$ медиана из вершины $A$ — это отрезок $AM$, где $M$ — середина $BC$.
Как построить (простыми инструментами):
1. Найти середину $M$ стороны $BC$ (пересечение перпендикуляров к $BC$ или по переносам отрезков). В координатах: $M\left(\frac{x_B+x_C}{2},\frac{y_B+y_C}{2}\right)$.
2. Провести отрезок от $A$ до $M$ — это медиана $AM$.
Короткие свойства:
- В треугольнике три медианы; они пересекаются в центре тяжести (центроиде) $G$.
- Центроид делит каждую медиану в отношении $2:1$ от вершины: $AG:GM=2:1$.
- Координаты центра тяжести: $G\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3},\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)$.
- Длина медианы из вершины $A$ (по Аполлонию): $m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}$, где $a=BC,b=CA,c=AB$.