Теорема (о четырёх кликах / пересекающихся хордах): если хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $X$ (внутри окружности), то
$$XA\cdot XB=XC\cdot XD.$$
Короткие доказательства и сравнение
1) Доказательство через угловые соотношения (угл. чеботание → подобие).
- Взятые треугольники, например $△XAC$ и $△XBD$, имеют попарно равные углы: соответствующие углы получаются равными из теоремы об вписанных углах (они «перевычисляют» одни и те же дуги) и по вертикальному углу в $X$. Отсюда треугольники подобны, значит
$$\frac{XA}{XB}=\frac{XD}{XC},$$ откуда $XA\cdot XB=XC\cdot XD$.
- Плюсы: очень коротко, чисто синтетика, не требует вспомогательных преобразований. Минусы: надо аккуратно указывать, какие именно углы равны (иногда громоздко в сложных конфигурациях).
2) Доказательство через подобие (явно через подобные треугольники).
- Строят соответствующие пары треугольников (обычно $△XAD$ и $△XCB$ или $△XAC$ и $△XBD$) и показывают их подобие теми же угловыми соотношениями; затем получают равенство произведений отрезков из отношения сторон:
$$\frac{XA}{XC}=\frac{XD}{XB}\Rightarrow XA\cdot XB=XC\cdot XD.$$ - Плюсы: натурально вытекает из базовых свойств окружности, прозрачна геометрическая интерпретация. Минусы: эквивалентна пункту 1 по сложности — в трудных рисунках следить за равенствами углов может быть неудобно.
3) Доказательство через инверсию (кратко и концептуально).
- Возьмём инверсию с центром в $X$ и радиусом $r$. Обозначим образы точек через штрих: $A^{\prime }$ и т.д. По свойству инверсии
$$XA\cdot X{A}^{\prime }=r^2,XB\cdot X{B}^{\prime }=r^2,\text{и т.д.}$$ - Прямая $AB$, проходящая через центр инверсии $X$, остаётся прямой; образ окружности (на которой лежали $A,B,C,D$) — другая окружность. Тогда $A^{\prime }$ и $B^{\prime }$ — точки пересечения той образной окружности с прямой $AB$, поэтому значение произведения расстояний от $X$ до точек пересечения любой прямой через $X$ с этой образной окружностью одинаково (мощность точки относительно образной окружности), т.е.
$$X{A}^{\prime }\cdot X{B}^{\prime }=X{C}^{\prime }\cdot X{D}^{\prime }.$$ Домножая обе части на $r^4/(X{A}^{\prime }X{B}^{\prime }X{C}^{\prime }X{D}^{\prime })$ и используя $XA=\frac{r^2}{X{A}^{\prime }}$ и т.п., получаем
$$XA\cdot XB=XC\cdot XD.$$ - Плюсы: очень коротко получает «произведение» как следствие факта $XA\cdot X{A}^{\prime }=r^2$ и общей мощности точки; удобно работать с произведениями и со многими окружностями/касательностями; часто полностью избавляет от многого углового исчисления. Минусы: требует знания инверсии; иногда излишне «тяжёлая» для простой хорды.
Когда инверсия даёт преимущество (перечень ситуаций)
- когда в задаче есть касательные/касание (инверсия превращает касание в касание или в параллельность/коллинеарность и значительно упрощает конфигурацию);
- когда нужно превратить окружность в прямую (центр инверсии на этой окружности) — это убирает кривизну и упрощает отношения;
- при многокружных конфигурациях (несколько окружностей, касающихся друг друга) — инверсия может свести задачу к конфигурации с прямыми или концентричными окружностями;
- при задачах на произведения отрезков, мощности точки и соотношения вида $XA\cdot XB=$ const — инверсия естественно оперирует такими произведениями через $XA\cdot X{A}^{\prime }=r^2$;
- когда хочется «посадить» важную точку в центр преобразования (после инверсии это делает рассуждения локальными и часто симметричными);
- при необходимости убрать трудноуправляемые угловые соотношения или громоздкие подобия — инверсия часто превращает их в очевидные коллинеарности/параллельности.
Вывод/рекомендация: для классической теоремы о пересекающихся хордах простые угловые/подобные доказательства наиболее экономны и понятны. Инверсия даёт преимущество, когда конфигурация усложняется касаниями, множеством окружностей или когда естественно работать с произведениями расстояний и мощностью точки — тогда инверсия часто сокращает рассуждение и делает результат более прозрачным.