Кратко: для невырожденного ромба сумма расстояний $S(P)=PA+PB+PC+PD$ минимальна не в вершине, а в центре ромба (в точке пересечения диагоналей). Минимум в вершине возможен только в вырожденном случае.
Доказательство (коротко). По неравенству треугольника
$$PA+PC\ge AC,PB+PD\ge BD,$$ поэтому для любой точки $P$ $$S(P)=PA+PB+PC+PD\ge AC+BD.$$ Равенство в обоих неравенствах одновременно достигается тогда и только тогда, когда $P$ лежит на отрезке $AC$ и на отрезке $BD$, то есть $P$ — точка пересечения диагоналей $O$. Следовательно минимум $S_{\min }=AC+BD$ и достигается в $O$. Для любой вершины, например $A$, имеем
$$S(A)=0+AB+AC+AD=2AB+AC>AC+BD=S(O)$$ (строгое неравенство для невырожденного ромба), значит вершина не является минимизатором.
Связь с задачей Ферма–Торричелли. Для трёх точек (треугольника) точка Ферма–Торричелли минимизирует сумму расстояний: она лежит внутри, если все углы < $120^{\circ }$, и совпадает с вершиной, если какой‑то угол $\ge 120^{\circ }$. Для четырёх вершин ромба благодаря центральной симметрии задача разбивается на две пары противоположных вершин; минимизация даёт сумму длин диагоналей и решение — центр ромба (аналог «Торричелли» для симметричной четвёрки).