Даны прямая и плоскость в векторных уравнениях. Пусть прямая задана параметрически
$\mathbf{r}=\mathbf{a}+t\mathbf{v},t\in \mathbb{R},$ а плоскость — либо параметрически
$\mathbf{r}=\mathbf{b}+s\mathbf{u}+r\mathbf{w},s,r\in \mathbb{R},$ либо нормальной формой
$\mathbf{n}\cdot (\mathbf{r}-\mathbf{b})=0.$
Утверждение о взаимной расположенности и условия:
1) Пересечение одна точка (прямая пересекает плоскость).
Если плоскость задана нормальной формой и
$\mathbf{n}\cdot \mathbf{v}\ne 0,$ то прямая не параллельна плоскости и существует ровно одно решение $t$. Его находят из
$\mathbf{n}\cdot (\mathbf{a}+t\mathbf{v}-\mathbf{b})=0$ то есть
$t=\frac{\mathbf{n}\cdot (\mathbf{b}-\mathbf{a})}{\mathbf{n}\cdot \mathbf{v}}.$ Точка пересечения: $\mathbf{a}+t\mathbf{v}.$
2) Нет пересечений (прямая параллельна плоскости и не лежит в ней).
Если $\mathbf{n}\cdot \mathbf{v}=0$ и при этом
$\mathbf{n}\cdot (\mathbf{a}-\mathbf{b})\ne 0,$ то прямая параллельна плоскости и не пересекает её.
3) Прямая целиком лежит в плоскости (бесконечно много общих точек).
Если $\mathbf{n}\cdot \mathbf{v}=0$ и
$\mathbf{n}\cdot (\mathbf{a}-\mathbf{b})=0,$ то вся прямая лежит в плоскости. Эквивалентно, при параметрическом описании плоскости направление $\mathbf{v}$ лежит в span$\{\mathbf{u},\mathbf{w}\}$ и точка $\mathbf{a}$ принадлежит плоскости.
Как это отражается на методах вычисления:
- Если плоскость в нормальной форме, проверка и вычисление сводятся к одному скалярному уравнению с неизвестным $t$ (см. пункт 1). Это самый простой и быстрый метод в вычислениях.
- Если плоскость в параметрической форме, решают векторное равенство
$\mathbf{a}+t\mathbf{v}=\mathbf{b}+s\mathbf{u}+r\mathbf{w},$ что даёт систему из трёх линейных уравнений для трёх неизвестных $t,s,r$. Число решений (0, 1 или бесконечно) определяется рангом матрицы системы (метод Гаусса):
- ранг коэффициентной матрицы = ранг расширенной = 3 → единственное решение;
- ранг коэффициентной матрицы = ранг расширенной < 3 → бесконечно много решений (прямая лежит в плоскости);
- ранг коэффициентной матрицы < ранг расширенной → несовместно (нет пересечения).
Краткое резюме: проверка скалярного произведения $\mathbf{n}\cdot \mathbf{v}$ даёт мгновенно тип расположения; параметрическая равенство приводит к системе трёх уравнений, решение которой даёт точку пересечения или показывает параллельность/совпадение через ранг.