Формулировка. В треугольнике $ABC$ точки $D\in BC,E\in CA,F\in AB$. Теорема Чевы: прямые $AD,BE,CF$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда
$$\frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}\cdot \frac{AF}{FB}=1.$$
Векторное доказательство. Возьмём начало координат в точке $A$ и обозначим позиционные векторы вершин через $b=AB,c=AC$ (тогда $a=0$). Обозначим
$$x=\frac{BD}{DC},y=\frac{CE}{EA},z=\frac{AF}{FB}.$$ Тогда параметры деления дают представления точек через векторы:
$$d=\frac{1}{1+x}b+\frac{x}{1+x}c,e=\frac{1}{1+y}c,f=\frac{z}{1+z}b.$$
(1) Необходимость. Предположим, что $AD,BE,CF$ пересекаются в одной точке $P$. Тогда для некоторого скалярa $k$ имеем $p=kd$ (так как $A$ — начало координат). Точка $P$ лежит на $BE$, следовательно существуют $m$ такое, что
$$kd=b+m(e-b).$$ Подставляя $d,e$ и сравнивая коэффициенты при независимых векторах $b,c$, получаем систему
$$\frac{k}{1+x}=1-m,\frac{kx}{1+x}=\frac{m}{1+y}.$$ Из первой $m=1-\frac{k}{1+x}$. Подставляя во вторую и упрощая, найдем
$$k=\frac{1+x}{1+x+xy}.$$
Аналогично т.к. $P$ лежит на $CF$, существуют $n$ с
$$kd=c+n(f-c),$$ и сравнение коэффициентов даёт
$$\frac{k}{1+x}=\frac{nz}{1+z},\frac{kx}{1+x}=1-n,$$ из чего следует
$$k=\frac{z(1+x)}{1+z(1+x)}.$$
Сравнивая два выражения для $k$ и сокращая общий множитель $1+x$, получаем
$$\frac{1}{1+x+xy}=\frac{z}{1+z(1+x)}⟹xyz=1.$$
(2) Достаточность. Обратно: если $xyz=1$, то предыдущие алгебраические выкладки показывают, что равенство двух выражений для $k$ выполняется, т.е. существует единый вектор $p=kd$, равный и точке пересечения $BE$ и $CF$. Следовательно все три прямые пересекаются в одной точке. (Алгебраический обратный ход — просто решение той же системы при условии $xyz=1$.)
Сравнение с классическим синтетическим доказательством и преимущества методов.
- Синтетический (классический) подход обычно использует отношения площадей треугольников или подобие треугольников: например, через равенства площадей получают те же соотношения длин и выводят произведение равным 1. Преимущества: дает наглядное геометрическое понимание, короче в простых планиметрических задачах, удобен при чисто геометрических конструкциях и мотивации.
- Векторный (координатный, барицентрический) подход, как выше, использует линейную алгебру: представление точек как линейных комбинаций, сравнение коэффициентов. Преимущества: алгоритмичен, удобен для вычислений, легко обобщается (ориентированные отношения, случаи вырождений), хорошо работает при сложных конфигурациях, в пространствах высокой размерности и при использовании трёхмерных обобщений (например, обобщённая Чева в тетраэдре через тройные отношения). Минусы: теряется непосредственная геометрическая интуиция, иногда громоздкие вычисления и необходимость выбора базиса/начала координат.
Вывод: для классических задач на интуитивное доказательство и быструю конструкцию лучше синтетика; при решении задач обобщённых конфигураций, с параметрическими зависимостями или при необходимости вычислений и обобщений — векторный/координатный метод более мощен и универсален.